Tetraedro pentagonale

[Gianfranco]

Io, per evitare i laboriosi calcoli algebrici impliciti nelle vostre soluzioni, ho utilizzato la seguente formula:
$$V=\large \frac{abc}{6}(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta}$$ Essa esprime il volume di un tetraedro in funzione della lunghezza di tre spigoli (a, b, c,) uscenti da un vertice e dei tre angoli uguali $\theta$ che essi formano tra loro.
Nel nostro caso si ha: a = 1, b = 1, c = 1/2 e $\theta=\frac 3 5 \pi$.

Grazie Maurizio!
Inserendo nella tua formula i valori numerici e:
$\Large \cos\theta=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
Si ottiene:
$\Large V=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}} \left( \sqrt{2} \sqrt{5}+3 \sqrt{2}\right) }{96}$
che semplificata diventa, per l'appunto:
$\Large V=\frac{\sqrt{5}+1}{48}$