Markov va al lavoro

[Gianfranco]

Il signor Markov va ogni giorno al lavoro con la propria automobile oppure in treno.
Se un giorno prende il treno allora il giorno dopo usa l'automobile.
Se un giorno usa l'automobile allora il giorno dopo la probabilità che vada in treno è 0.75.
Il 20 agosto, primo giorno di lavoro dopo le ferie, il signor Markov lancia un dado con il proposito di andare al lavoro in treno se esce il 6 e di usare l'auto se esce un numero minore di 6.

1) Qual è la probabilità che il giorno 23 agosto il signor Markov vada al lavoro in treno?
2) Qualunque sia stato l'esito del lancio del dado, in quale percentuale dei giorni Markov andrà al lavoro in treno?

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Cari amici, per questo problema mi sono ispirato a un esercizio del volume della famosa collana SHAUM, Calcolo delle probabilità di Seymour Lipschutz.
Qualcuno di voi si ricorda di questa collana?
Ai miei tempi era molto usata per prepararsi a certi esami universitari di matematica e ingegneria.
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Ogni vostro suggerimento per migliorare il testo è gradito.

[franco]

Io forse ho ancora da qualche parte lo Schaum con gli esercizi di Elettrotecnica

Pe quanto riguarda i quesiti, direi:
1) la probabilità che Markov usi il treno il giorno 23 dovrebbe essere pari al 53,9% circa
2) sul lungo periodo, Markov userà il treno per circa il 42,9% delle giornate

[Gianfranco]

Pe quanto riguarda i quesiti, direi:
1) la probabilità che Markov usi il treno il giorno 23 dovrebbe essere pari al 53,9% circa
2) sul lungo periodo, Markov userà il treno per circa il 42,9% delle giornate

Anche a me vengono gli stessi risultati.

[panurgo]

Prendiamo il risultato generale dal post precedente

$M^r=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{q+p(1-p-q)^r}{p+q} &
\displaystyle\frac{q-q(1-p-q)^r}{p+q}\\
\displaystyle\frac{p-p(1-p-q)^r}{p+q} &
\displaystyle\frac{p+q(1-p-q)^r}{p+q}\end{pmatrix}$

In questo caso $p=1$ e $q=\frac34$: sostituendo questi valori troviamo

$M^r=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{3+4(-\frac34)^r}{7} &
\displaystyle\frac{3-3(-\frac34)^r}{7}\\
\displaystyle\frac{4-4(-\frac34)^r}{7} &
\displaystyle\frac{4+3(-\frac34)^r}{7}\end{pmatrix}$

Markov lancia un dado e sceglie il treno se esce il $6$ altrimenti prende la macchina: in base al Principio di Indifferenza assegniamo il vettore stocastico

$v_0=\begin{pmatrix}\displaystyle \frac16\\\displaystyle \frac56\end{pmatrix}$

Dopo tre giorni abbiamo

$v_3=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{3+4(-\frac34)^3}{7} &
\displaystyle\frac{3-3(-\frac34)^3}{7}\\
\displaystyle\frac{4-4(-\frac34)^3}{7} &
\displaystyle\frac{4+3(-\frac34)^3}{7}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\displaystyle \frac16\\\displaystyle \frac56\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{69}{128}\\\displaystyle\frac{59}{128}\end{pmatrix}\approx
\begin{pmatrix}0,5391\\0,4609\end{pmatrix}$

Il vettore stocastico dello stato stazionario è

$\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{q}{p+q}\\\displaystyle \frac{p}{p+q}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\displaystyle \frac37\\\displaystyle \frac47\end{pmatrix}\approx
\begin{pmatrix}0,4286\\0,5714\end{pmatrix}$

[Gianfranco]

Fermo restando che la soluzione professionale è quella di Panurgo, propongo la mia risoluzione da apprendista pigro.
Ho usato wxMaxima per fare i calcoli e ho messo in campo la mia pigrizia facendo elevare la matrice alla potenza desiderata.
Chiedo scusa a Panurgo, ma in questa proposta scriverò i vettori-probabilità nelle righe e userò il prodotto a destra.
Questo perché devo ancora capire come si fa in wxMaxima a fare all'altro modo.
1) Scrivo la tabella a partire dal grafo.

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2) Definisco la matrice di transizione e il vettore-riga della distribuzione iniziale delle probabilità
La somma delle probabilità di ogni riga della matrice e del vettore è 1.

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3) Per calcolare la probabilità che il terzo giorno Markov vada in treno, elevo la matrice di transizione alla 3* e moltiplico a destra per il vettore p0.
Risulta che la probabilità del treno è 0.5391 circa.

markov_lavoro2.png (32.44 KiB) Visto 41455 volte

4) Per calcolare cosa succede "alla lunga" elevo la matrice alla 50° potenza e, per curiosità, la moltiplico per il vettore p0.
Così ho trovato lo stato stazionario, che è indipendente dalla scelta iniziale.
Risulta che Markov, in media andrà al lavoro il 43% delle volte in treno e il 57% delle volte in auto (circa).

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5) Se voglio trovare la distribuzione stazionaria con precisione devo trovare un vettore-riga p tale che:
p ∙ matrice di transizione = p
Questo si può ottenere risolvendo un sistema lineare di equazioni.

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6) Per curiosità, verifico che davvero:
p ∙ matrice di transizione = p

markov_lavoro5.png (13.73 KiB) Visto 41455 volte

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Ora cercherò di rifare i calcoli usando i vettori in colonne e la moltiplicazione a destra.
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Però ho esaminato diversi testi in italiano e ho visto che quasi tutti scrivono le matrici stocastiche in riga.
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P.S. Questo problema si può rappresentare anche così. Cambiano la matrice e lo stato iniziale ma non i risultati.

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[panurgo]

Però ho esaminato diversi testi in italiano e ho visto che quasi tutti scrivono le matrici stocastiche in riga.

Sono io quello pigro: preferisco scrivere

$\begin{pmatrix}1-p & q\\p & 1-q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q+(1-p-q)x\\1-q-(1-p-q)x\end{pmatrix}$

anziché

$\begin{pmatrix}q+(1-p-q)x\\1-q-(1-p-q)x\end{pmatrix}^\text{T}=\begin{pmatrix}x\\1-x\end{pmatrix}^\text{T}\begin{pmatrix}1-p & p\\q & 1-q\end{pmatrix}$

o peggio

$\begin{pmatrix}q+(1-p-q)x &1-q-(1-p-q)x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & 1-x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-p & p\\q & 1-q\end{pmatrix}$

P.S. Questo problema si può rappresentare anche così. Cambiano la matrice e lo stato iniziale ma non i risultati.
markov_lavoro_alt.png

Non conviene usare una matrice più grande: piuttosto è meglio fare il procedimento inverso, da

$M=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\displaystyle\frac16 & 0 & \displaystyle\frac34\\\displaystyle\frac56 & 1 & \displaystyle\frac14\end{pmatrix}\qquad v_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

a

$M=\begin{pmatrix}0 & \displaystyle\frac34\\1 & \displaystyle\frac14\end{pmatrix}\qquad v_0=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac16\\\displaystyle\frac56\end{pmatrix}$

[Gianfranco]

Sono io quello pigro...

Io farei i calcoli così.
a) In colonna (come te)

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b) In riga

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Mi sento leggermente più pigro col secondo.
Ma forse sbaglio qualcosa...