I classici del nuovo anno - 4

[franco]

Definiamo "S. Silvestro" dell'anno A il numero S più piccolo tale per cui il prodotto A*S termina con le cifre dell'anno A+1.
Ad esempio, il S. Silvestro del 2009 era 6890 in quanto 2009*6890=13842010.

Determinare il S. Silvestro del 2023

www.diophante.fr
A1600/4

[Gianfranco]

Il San Silvestro di 2023 dovrebbe essere 8088, infatti:
2023 * 8088 = 16362024

L'ho trovato con questo programmino:

Codice: Seleziona tutto

LET a=2023
LET s=0

DO 
   LET s=s+1
   LET p=s*a    
LOOP UNTIL MOD(p,10000)=a+1

PRINT s;a;p      
PRINT "Fine"

END

Che è uno di quei tipici programmini che non si sa se terminano oppure no.
Infatti, se non sbaglio, il San Silvestro degli anni pari e dei multipli di 5 non esiste, perciò in questi casi il programmino non stamperà mai la parola "Fine".

[Quelo]

Io ho fatto questo ragionamento:
Poniamo

$\displaystyle 2023a=b \cdot 10^4+2023+1$

da cui deriva

$b \cdot 10^4+1\equiv0\pmod{2023}$

devo trovare un multiplo di 2023 che termina con 0001

Scomponiamo $\displaystyle c=2023x=2000x+23x$
le ultime tre cifre di c dipendono solo dal 23
l'ultima cifra di x è un 7, da cui 23 x 7 = 161
la penultima è un 8, in quanto 80 x 3 = 240
si ottiene 23 x 87 = 2001 e abbiamo quello che ci serve

A questo punto $2023(y+x)=2023y+176001$, ci serve y=8000 per avere i 4000 che mancano

Concludendo $a=x+1=8088$

[Gianfranco]

Io ho fatto questo ragionamento:
Poniamo

$\displaystyle 2023a=b \cdot 10^4+2023+1$

Ottimo ragionamento!
Bravo (con l'accento sulla "o").