quadrati, rettangoli...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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quadrati, rettangoli...
Usando come lati i segmenti di lunghezza 1, 2,..., 10 costruire cinque rettangoli diversi con cui si possa costruire un quadrato
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Tutto qui? e gli altri?Br1 ha scritto:Stavo inviando un'email e, prima di chiudere,
ho fatto un salto qui...
Buonanotte
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Caro Guido, vista la tua faccina "shock", devo dirtipanurgo ha scritto:Tutto qui? e gli altri?
che ovviamente non avevo nessuna pretesa d'essere
esaustivo.
Mi sono solo divertito, semplicemente, a rispondere
al tuo quiz.
Ora non posso trattenermi (ahimè!), ma voglio farti lo
stesso un regalo
Qualcun altro provvederà al resto.
Alla prossima!
Bruno
E questo è sacrosanto !panurgo ha scritto:Quel che conta è il procedimento...
Il mio era solo un gioco, ripeto
Ho cancellato il messaggio
inviato questa notte perché
non conteneva il procedimento
risolutivo generale ma solo un
accenno del metodo che ho
seguito per trovare i due casi
postati
In quel post dicevo di un pipistrello
che mi è piombato in casa (forse
catturato dal mio gatto sul balcone),
creando un bel po' di trambusto...
Be', sono riuscito a prenderlo e a
rimetterlo in libertà
Quell'incontro ravvicinato mi ha
molto intenerito e, ancora una volta,
mi colpisce il fatto che sono proprio
tante le cose che non conosciamo
rispetto a quelle che pensiamo di
sapere, e sui pipistrelli girano
ancora delle idiozie...
A presto (forse)
Bruno
Al volo!
Confermo: la congettura di Enrico è un dato di fatto
Mentre cercavo di fornire i due casi che rispondono al
problema, ho focalizzato queste cose (scrivo di corsa
ma spero di farmi capire lo stesso: presento il mio
ragionamento senza tante finezze o scorciatoie, così
come è avvenuto).
Un rettangolo non può essere suddiviso in tre rettangoli
con lati diversi, dal momento che le uniche possibilità,
in sostanza, sono:
nelle quali, evidentemente, i lati dei rettangoli non sono
tutti distinti.
Ora, dovendo usare i numeri da 1 a 10 una volta soltanto,
vediamo subito che il quadrato non può avere il lato pari a
10 perché altrimenti dovremmo lavorare su schemi di
questo tipo:
dove salta all'occhio che l'area retinata non può contenere
tre rettangoli (1) e due rettangoli (2, 3) con lati distinti.
Faccio una breve e immediata premessa, che permetterà
anche di trovare l’unico schema di sezionamento del quadrato
compatibile con la richiesta del problema.
Possiamo subito escludere che sul lato del quadrato si
trovino i lati di tre rettangoli. Infatti, guardando lo schema:
vediamo che la parte retinata non può essere occupata
da due rettangoli soltanto.
L’unica configurazione possibile, è immediato convincersene,
è la seguente (trascurando riflessioni, rotazioni etc.):
Vediamo, adesso, che il lato del quadrato non può misurare
14, perché abbiamo solo tre coppie di numeri naturali
distinti, fra quelli dati, la cui somma è 14.
L’eventuale lato pari, dunque, può solo essere 12.
Se il lato del quadrato fosse 12, sui suoi lati troveremmo due
coppie di numeri dispari e due coppie di numeri pari e il
rettangolo interno, di conseguenza, non avrebbe tutti i lati
dispari o tutti pari (poiché nella sequenza 1, 2, 3, 4, ..., 10
resterebbero esclusi un numero pari e un numero dispari).
Si vede subito che la distribuzione perimetrale delle coppie
numeriche sopra indicata, però, comporta sempre un
rettangolo interno i cui lati sono o tutti dispari o tutti pari.
Queste considerazioni permettono di stabilire che il quadrato
ha senz’altro un lato dispari e tale lato può essere 11 oppure
13, grazie al risultato di Quelo e a questa alternativa (è chiaro
che non può essere 9 a causa del rettangolo con lato 10 e
non può essere 15 perché non ci sono abbastanza coppie di
numeri aventi per somma 15, fra 1 e 10, da distribuire sul
perimetro).
Il cerchio si stringe…
(Se&o)
Confermo: la congettura di Enrico è un dato di fatto
Mentre cercavo di fornire i due casi che rispondono al
problema, ho focalizzato queste cose (scrivo di corsa
ma spero di farmi capire lo stesso: presento il mio
ragionamento senza tante finezze o scorciatoie, così
come è avvenuto).
Un rettangolo non può essere suddiviso in tre rettangoli
con lati diversi, dal momento che le uniche possibilità,
in sostanza, sono:
nelle quali, evidentemente, i lati dei rettangoli non sono
tutti distinti.
Ora, dovendo usare i numeri da 1 a 10 una volta soltanto,
vediamo subito che il quadrato non può avere il lato pari a
10 perché altrimenti dovremmo lavorare su schemi di
questo tipo:
dove salta all'occhio che l'area retinata non può contenere
tre rettangoli (1) e due rettangoli (2, 3) con lati distinti.
Faccio una breve e immediata premessa, che permetterà
anche di trovare l’unico schema di sezionamento del quadrato
compatibile con la richiesta del problema.
Possiamo subito escludere che sul lato del quadrato si
trovino i lati di tre rettangoli. Infatti, guardando lo schema:
vediamo che la parte retinata non può essere occupata
da due rettangoli soltanto.
L’unica configurazione possibile, è immediato convincersene,
è la seguente (trascurando riflessioni, rotazioni etc.):
Vediamo, adesso, che il lato del quadrato non può misurare
14, perché abbiamo solo tre coppie di numeri naturali
distinti, fra quelli dati, la cui somma è 14.
L’eventuale lato pari, dunque, può solo essere 12.
Se il lato del quadrato fosse 12, sui suoi lati troveremmo due
coppie di numeri dispari e due coppie di numeri pari e il
rettangolo interno, di conseguenza, non avrebbe tutti i lati
dispari o tutti pari (poiché nella sequenza 1, 2, 3, 4, ..., 10
resterebbero esclusi un numero pari e un numero dispari).
Si vede subito che la distribuzione perimetrale delle coppie
numeriche sopra indicata, però, comporta sempre un
rettangolo interno i cui lati sono o tutti dispari o tutti pari.
Queste considerazioni permettono di stabilire che il quadrato
ha senz’altro un lato dispari e tale lato può essere 11 oppure
13, grazie al risultato di Quelo e a questa alternativa (è chiaro
che non può essere 9 a causa del rettangolo con lato 10 e
non può essere 15 perché non ci sono abbastanza coppie di
numeri aventi per somma 15, fra 1 e 10, da distribuire sul
perimetro).
Il cerchio si stringe…
(Se&o)
Bruno
Dirò soltanto che l'area minima si ha per i rettangoli 1x10, 2x9, 3x8, 4x7, 5x6 (A=110) e quella massima si ha per i rettangoli 1x2, 3x4, 5x6, 7x8, 9x10 (A=190): senza le considerazioni di parità sono papabili solo i quadrati di 11, 12 e 13. Questa è stata la mia prima considerazione.
Essendo il lato del quadrato, n > 10, l'unica configurazione dei cinque rettangoli è subito evidente
Essendo il lato del quadrato, n > 10, l'unica configurazione dei cinque rettangoli è subito evidente
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Giusto: questa è un'altra via, un diverso approcciopanurgo ha scritto:Dirò soltanto che l'area minima si ha per i rettangoli 1x10, 2x9, 3x8, 4x7, 5x6 (A=110) e quella massima si ha per i rettangoli 1x2, 3x4, 5x6, 7x8, 9x10 (A=190): senza le considerazioni di parità sono papabili solo i quadrati di 11, 12 e 13. Questa è stata la mia prima considerazione.
Essendo il lato del quadrato, n > 10, l'unica configurazione dei cinque rettangoli è subito evidente
Approfitto di una decina di minuti di pausa per scrivere
un'ultima cosa.
Abbiamo visto che lo schema risolutivo è di questo
tipo:
.sul cui perimetro dobbiamo distribuire le coppie
10-1, 9-2, 8-3, 7-4, 6-5 (per il quadrato di lato 11)
e 10-3, 9-4, 8-5, 7-6 (per il quadrato di lato 13).
In quest'ultimo caso la ricerca è semplice e porta
alla soluzione indicata da Quelo e all'alternativa
che ho aggiunto nel mio post precedente, la quale
deriva da quella di Quelo scambiando due coppie
sui lati opposti e invertendone i termini, così:
Questa operazione fornisce una sola soluzione
aggiuntiva distinta.
Nell'altro caso, invece, cioè quando il lato del
quadrato vale 11, si comprende facilmente, carta
e penna alla mano, che il rettangolo interno non
può essere di 8x3 o 6x5, e tantomeno di 9x2 o
10x1.
Rimane, allora, il rettangolo di 7x4.
Trovata una configurazione (è facile), l'altra l'ho
ricavata con l'operazione vista sopra.
Se non ho preso abbagli, le soluzioni sono in
totale quattro, cioè quelle già indicate.
Il tempo a disposizione è davvero troppo poco
e il mio ragionamento, ridotto a quattro scarabocchi
su un pezzo di carta, non è stato facile da adattare
a un post, anzi a due...
Ho scritto un po' a ruota libera e senza dubbio avrei
potuto raffinare i miei passaggi (rileggendo il tutto,
infatti, forse forse alcuni di essi non sono proprio
necessari).
Ormai è andata, non aspiro all'eccellenza, però ho
risolto il problema
Passo e chiudo, vado a mangiare!
Edit: Ho allegato gli scarabocchi...
Bruno