possibili correlazioni tra numeri poligonali centrati e numeri primi

[mariaangelone]

divertendomi in questi giorni a sommare più numeri esagonali centrati per vedere che risultati danno, mi sono accorta, almeno dalle verifiche da me fatte, che sommando insieme più numeri esagonali centrati in sequenza, non si forma mai un numero primo.
la cosa mi è sembrata alquanto bizzarra e allora ho voluto spostarmi su altri numeri poligonali centrati per accertarmi se si comportavano allo stesso modo dei loro cugini esagonali centrati e mi sono accorta che anche le somme di altri numeri poligonali centrati in sequenza non danno luogo ad un numero primo.
Voi che ne pensate a riguardo,? si tratta solo di casi fortuiti senza importanza, di un mio macroscopico errore, o da queste verifiche si può ipotizzare qualcosa?
Mi farebbe piacere se qualcuno di voi riuscisse a darmi dei chiarimenti ed eventualmente ad approfondire questo discorso.
Grazie tantissimo e buona serata a tutti voi basecinquini

[Quelo]

Wikipedia ci suggerisce che la somma dei primi n numeri esagonali centrati è $n^3$
Per esempio:
$1=1^3$
$1+7=2^3$
$1+7+19=3^3$
e così via

Ne segue che la somma di una qualsiasi sequenza di numeri esagonali centrati corrisponde alla differenza di due cubi, la quale può essere espressa come prodotto di due fattori.
Per esempio:
$19+37+61+91=208=216-8=6^3-2^3=(6-2)(6^2+12+2^2)$

Questo non vale in generale per gli altri poligonali centrati, ad esempio nella sequenza dei pentagonali centrati (1, 6, 16, 31, 51, ...) se sommo 16 con 31 ottengo 47 che è un numero primo

[Gianfranco]

...sommando insieme più numeri esagonali centrati in sequenza, non si forma mai un numero primo.
...
Voi che ne pensate a riguardo?

Ricordo che tutti i numeri esagonali centrati sono espressi dalla seguente formula:
$h(n)=3n^2+3n+1$ (con $n$ intero $>=0$)

Usando tale formula, si può dimostrare che la somma di $n$ numeri esagonali centrati consecutivi è un multiplo di $n$ maggiore di $n$.
Quindi non potrà mai essere un numero primo.

Tuttavia i numeri esa-centrati sono in relazione con i numeri primi.
Infatti si può dimostrare che sono tutti della forma:
$h(n)=6k+1$
D'altronde, tutti i numeri primi $>3$ sono di una delle due forme $p=6k+1$ oppure $6k+5$
C'è da aspettarsi che qualche numero esa-centrato sia primo. Ed infatti è così: da 1 a 1000 ci sono ben 264 numeri esa-centrati primi.

Se vogliamo trovare dei numeri esa-centrati la cui somma sia un numero primo, dobbiamo prenderli a gruppi di 5 oppure di 7 (o loro multipli).

Una cosa interessante è che esistono gruppi di 5 e 7 numeri esa-centrati QUASI CONSECUTIVI la cui somma è un numero primo.
Per QUASI-CONSECUTIVI intendo una lista ordinata di n numeri interi compresi fra k e k+n. In pratica si salta un solo numero.

Prima scrivo un elenco di numeri esa-centrati con i rispettivi indici.
Nota che il primo indice è 0 (conforme a OEIS).
h0= 1
h1= 7
h2= 19
h3= 37
h4= 61
h5= 91
h6= 127
h7= 169
h8= 217
h9= 271
h10= 331
h11= 397
h12= 469
h13= 547
h14= 631
h15= 721
h16= 817
h17= 919
h18= 1027
h19= 1141
h20= 1261

Si trova per esempio che:
---
7 + 19 + 37 + 61 + 127 = 251 primo
h1 + h2 + h3 + h4 + h6
Salta h5
---
721 + 817 + 1027 + 1141 + 1261 = 4967 primo
h15 + h16 + h18 + h19 + h20
Salta h17
---
7 + 19 + 37 + 61 + 91 + 169 + 217 = 601 primo
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h7 + h8
Salta h6
---
271 + 331 + 397 + 469 + 547 + 631 + 817 = 3463 primo
h9 + h10 + h11 + h12 + h13 + h14 + h16
Salta h15

Salvo errori e omissioni.

[mariaangelone]

caro gianfranco grazie per la tua dettagliata risposta, ti sono veramente grata. Hai detto cose interessanti, che almeno in parte conoscevo.
Adesso il punto è questo: Come procediamo? Queste figure Esa e i loro cloni matematici, numeri esagonali centrati, possono portare ad affrontare problematiche interessanti, su cui vale la pena di spendere energie? Questo devi dirmelo tu e gli altri amici basecinquini, visto che i matematici siete voi. io, come detto, lavoro soltanto in sartoria...
Il bel discorso che hai fatto sulle correlazioni coi primi, mi ha fatto venire la voglia di andarmi a rivedere i miei simpatici studi sugli esa, e ho trovato diverse osservazioni che magari potrebbero essere approfondite, se qualcuno di voi trovasse qualche elemento degno di nota. Io non so cosa farne, data anche la mole di pagine scritte sull'argomento. Anni fa ho fatto una lista dei primi 160 esa arrivando all'esa 76321, con tutte le osservazioni e alcuni riferimenti con altre categorie di numeri. Se tu pensi che vale la pena di darci uno sguardo , dovresti gentilmente dirmi come fare ad inviarle, visto che ne sono una bella quantità. Ti mando per ora una mia osservazione sulle correlazioni degli esa coi primi, così, a pelle, tu mi puoi dire, almento sotto il profilo dei primi, se vale la pena di continuare a indagare oppure dobbiamo depennare le osservazioni fatte. Ecco l'argomento:

Note riassuntive sui numeri N esa
1) Tutti i numeri n esa terminano esclusivamente coi numeri : 1, 7, 9 dimostrato

Tutti i numeri n esa sottratti di un’unità sono divisibili per 3 e per 6. dimostrato

Tutti i numeri n esa non sono mai divisibili per 3 e per 5. dimostrato per 3
non mi sembra dimostrato per 5

Il divisore più basso di un numero n esa qualora questo non sia un numero primo, è sempre un numero primo a partire da 7.
Da questa proprietà si ricava che in ogni esa in cui non appare l’esagono nero al centro il numero più basso che si può avere delle ripetizioni di un colore, non può mai essere inferiore a 7. non mi sembra dimostrato
(questa osservazione può essere riassorbita nella congettura 1)

Ogni numero n esa, primo e non primo, sottratto di un’unità e diviso per D (il numero massimo degli esagoni i cui centri sono allineati su di una stessa retta ) addizionato di un’unità, produce sempre un numero in sequenza con il numero n dell’esa precedente che procede di un’unità e mezza rispetto al numero costituito dalla divisione precedente, per cui si verifica che quando la divisione porta ad un numero intero, la divisione successiva, avrà sempre un decimale di 5. Ad esempio partendo dall’esa n 7 d 3 si verifica che 7-1 = 6 : 4 (D + 1) = 1,5. il successivo n19 produrrà il numero 3 ( n -1:d+1= 3). Il successivo n37 darà 4,5; e quello ancora successivo n 61 darà 6, e così di seguito. Non mi sembra dimostrato

Ogni numero n esa conoscendo 2 numeri n esa in progressione, si può calcolare addizionando di 6 unità il prodotto della sottrazione dell’ esa minore da quello maggiore. Il risultato aggiunto all’esa maggiore ci farà conoscere il numero n dell’esa successivo. Non ricordo se è stato messo in evidenza precedentemente

Dati interessanti correlati ai numeri primi

Sappiamo che il divisore più piccolo di un numero n esa non primo è sempre un numero primo a partire da 7. Ma questo fatto produce una particolarità:
dividendo il numero n esa per il divisore più piccolo, il numero risultante dalla divisione a sua volta sarà un numero primo nel caso in cui la divisione del numero n esa ha solo due divisori. Se invece la divisione di questo numero ha più di 2 divisori, ad eccezione ovviamente dell’unità, il numero che risulta dalla divisione del numero n esa per il divisore più piccolo non sarà mai un numero primo.
Ad esempio il numero n esa 16207 ha come divisore più basso il numero 19. Se dividiamo 16207 per 19 avremo 853 che a sua volta è un numero primo. Questo perché 16207, ha solo 2 divisori 19 e 853.
Se invece dividiamo il numero n esa 17101 per 7 che è il divisore più basso, avremo 2443 che non è primo. Questo perché 17101 è divisibile per 7, 49, 349, e 2443, ed il prodotto della divisione del numero n esa con più divisori, per il divisore più piccolo dà un numero non primo.
Questo fatto produce che il numero dei colori usati per la ripetizione di un colore di un n esa che non presenta l’esagono nero al centro, è sicuramente un numero primo quando la ripetizione di un colore è unica, così come egualmente è primo il numero delle ripetizioni di un colore. Prendendo ad esempio sempre l’esa n 16207, senza sottrarre un esagono, così com’è, la figura può avere solo 853 colori e 19 ripetizioni per colore, e di conseguenza sia 7 sia 853 sono primi.
Quando invece è possibile avere più ripetizioni di un colore, siamo sicuri che il numero dei colori che risulta dalla divisione del numero n esa per il divisore più piccolo non è un numero primo.
Nel caso dell’esa n 17101, preso ad esempio, potremo avere 2443 colori e 7 ripetizioni, ed in questo caso 7 è primo mentre 2443 non è primo. Va detto però che il numero dei colori potrebbe essere anche formato da un numero primo nel caso in cui pur essendoci più divisori, risultasse dalla divisione del numero 17101 per un divisore che non sia il più piccolo.

Dai dati rilevati si possono ipotizzare delle congetture

Congettura 1

Entrambi i divisori di un qualunque numero n esa quando questi non sono maggiori di due, ad esclusione dell’unità, sono sempre numeri primi diversi da 3 e 5
Congettura 2

I divisori di un numero n esa quando sono maggiori di due sono per metà primi e per metà non primi, diversi da 3 e 7 e formano coppie di numeri per cui se il primo divisore è un numero primo, il divisore corrispettivo non è primo.

Allora che si fa? depenniamo o continuiamo a scavare? Buona serata a te e a tutti

[Gianfranco]

Congettura 2
I divisori di un numero n esa quando sono maggiori di due sono per metà primi e per metà non primi, diversi da 3 e 7 e formano coppie di numeri per cui se il primo divisore è un numero primo, il divisore corrispettivo non è primo.

Allora che si fa? depenniamo o continuiamo a scavare? Buona serata a te e a tutti

Non so se ho capito bene la congettura 2 ma mi sembra di aver trovato un controesempio.
Vediamo...
a) Il numero 105469 è un numero ESA-centrato perché
$3 \cdot 187^2+3 \cdot 187+1=105469$

b) La scomposizione in fattori primi di 105469 è
$105469=7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 61$

c) Perciò i fattori primi e quelli non primi di 105469 sono (escludendo 1 e il numero stesso):
7-13-19-61-91-133-247-427-793-1159-1729-5551-8113-15067

Si vede che i fattori primi sono meno della metà dei fattori e tra questi c'è il 7.

Salvo errori & omissioni.

Se ho capito male la congettura 2, potresti dare qualche spiegazione in più?