proprietà legate a somme di numeri esagonali centrati

[mariaangelone]

giorni fa , essendo diventata amica per la pelle delle figure esagonali composte da esagoni regolari, mi sono chiesta, se era possibile costruire una figura esagonale composta da esagoni ( figure geometriche che matematicamente appartengono alla categoria dei numeri esagonali centrati, da me connotate come Esa) che avesse lo stesso numero di esagoni di 3 esa messi insieme.
Non trovando la risposta ho postato la domanda nel vostro sito, e Giancarlo ha avuto la gentilezza di rispondermi e suggerirmi di inserire la domanda che si presentava interessante, in un nuovo argomento, non in quello precedente che va sotto la denominazione di <<figure esagonali composte da esagoni>>.
Ne ho parlato poi con mio fratello che diversamente da me, molto diversamente, mastica matematica come fosse una pizza margherita. Ma neanche lui, dopo averci pensato su era riuscito a trovare una risposta, poi all'improvviso oggi si è accesa la lampadina, e mi ha mandato una mail con i suoi dictat
Ho piacere quindi di farvi conoscere la sua risposta e dirmi se siete d'accordo ed eventualmente se c'è la possibilità di ampliare la discussione .
Grazie a tutti e arrivederci a presto. mariolina

La risposta di mio fratello enrico:

Vogliamo sapere se, dati 3 qualsiasi ESA, è possibile costruire un altro ESA che abbia gli stessi esagoni degli altri 3 messi insieme, vale a dire X = Y +Z + W.
Per ognuno di questi numeri deve valere la relazione N = 3h (h – 1) + 1 con h numero intero positivo.
Si vede facilmente che tale relazione comporta che ogni numero sia un multiplo di 6 aumentato di 1 unità (controllare da tabella); pertanto la somma di 3 di questi numeri sarà necessariamente un altro numero multiplo di 6 aumentato di 3 unità, e questo numero non può essere a sua volta un multiplo di 6.
Abbiamo dimostrato in definitiva che non esistono ESA che abbiano lo stesso numero di altri 3 ESA insieme.
Estrapolando il discorso, vi sono invece ESA che sono la somma di altri 6 ESA più piccoli.

[Gianfranco]

Vogliamo sapere se, dati 3 qualsiasi ESA, è possibile costruire un altro ESA che abbia gli stessi esagoni degli altri 3 messi insieme, vale a dire X = Y +Z + W.
...
Estrapolando il discorso, vi sono invece ESA che sono la somma di altri 6 ESA più piccoli.

Non ho trovato gruppi di 6 ESA-centrati la cui somma è un ESA-centrato, anzi non ne ho trovati di 2, 3, 4, 5, 6.

Però esistono molti gruppi di 7 (e di 13, 19, ..., 6n+1, per esempio:
Questo, di 7.
7 + 19 + 37 + 61 + 91 + 271 + 331 = 817
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h9 + h10 = h16

O questo, formato da 13 ESA-centrati consecutivi.
19 + 37 + 61 + 91 + 127 + 169 + 217 + 271 + 331 + 397 + 469 + 547 + 631 = 3367
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

[mariaangelone]

ma è straordinaria la tua risposta.
Non sto nei panni dalla contentezza. Sei riuscito a trovare che la somma di 7 esa non in sequenza, fa un esa gigante con 817 esagonini ma è troppo bello!!
7 + 19 +37 + 61+ 91 +271 + 331 = 817
e sai perchè mi fa tanto piacere? perchè posso creare un'opera con 817 esagoni in carne ed ossa.
in questi giorni sto dando vita al numero stellare 433, fatto con 433 bulloni d'acciaio e 433 pietre sovrapposte di vetro colorato. questo per mettere in evidenza le proprietà delle figure esagonali e stellari legate ai perimetri. Che c'è di meglio dopo quest'opera di passare alla successiva fatta con 818 bulloni e 818 pietre colorate? la sto già progettando ma per il momento non ho la quantità sufficiente di pietre di un dato colore, dal momento che mi occorrono 7 colori diversi. Speriamo di trovarli.
Bene, visto che ci troviamo in argomento, vorrei dirti che io abito a Napoli e mi farebbe molto piacere se ci fosse qualche basecinquino della mia stessa città, da poter invitare a casa per fargli vedere le mie opere dal vivo, e magari avere anche qualche suggerimento. Ti sarei grata se mi puoi dare qualche informazione in merito.
Per adesso ringraziando tantissimo te e anche l'amico Quelo che mi ha detto altre belle cose sulle somme dei numeri esagonali centrati, ti auguro tanta serenità