Ho fatto un po' di pasticci con carta e penna anche io ...
Parto dall'informazione "$x=n^2+1$"
Poichè l'ultima cifra di $x$ deve essere dispari e diversa da $5$ (altrimenti $x$ non sarebbe primo), ne risulta che l'ultima cifra di $n$ non può che esere $0$, $4$ o $6$.
Con pochi altri pasticci si verifica subito che se l'ultima cifra di $n$ fosse $4$ o $6$, la penultima cifra di $x$ risulterebbe dispari, contraddicendo l'informazione "le cifre in posizione pari sono pari".
A questo punto ho stabilito che l'ultima cifra di $n$ è pari a $0$ e l'ultime due cifre di $x$ sono $01$.
Perchè il PIN risulti di cinque cifre (con la prima diversa da $1$ in quanto $1$ è la cifra finale), deve essere $n = 10k$ con k compreso fra $16$ e $31$.
Sono $16$ possibilità, gestibilissime con carta e penna.
Dei $16$ risultati, $10$ posso scartarli subito in quanto hanno cifre ripetute oppure dispari in posizione pari.
Altri $4$ li scarto in quanto la somma delle cifre è un numero pari e quindi non primo.
Rimangono solo $52901$ e $72901$.
Posso andare tranquillamente al bancomat per fare un prelievo: un errore me lo passa
(non ho usato l'informazione del numero gemello primo e nemmeno ho verificato che i numeri fossero effettivamente primi perchè con carta e penna non ci riesco!)