PIN dimenticato

[Quelo]

Ho dimenticato PIN del bancomat ma ricordo che:

• E' un numero di 5 cifre tutte diverse

• Le cifre in posizione pari sono pari

• E' un numero primo gemello

• E' nella forma $n^2+1$

• La somma delle cifre è un numero primo

Purtroppo non ho con me alcun dispositivo, ma solo carta e penna.
Posso risalire al mio PIN?

[NothIng]

Posso risalire al mio PIN?

Dipende dalla penna, la mia ad esempio è diffettosa e non riesce a dirmi se $230^2+1$ è effettivamente primo o no.
Con un foglio e mezzo di scarabocchi e poco meno di una decina di quadrati calcolati a mente ho trovato anche $270^2+1 = 72901$ ma va scartato perchè sicuramente il gemello $270^2+3$ è multiplo di 3 quindi non è primo.

[Quelo]

Bravo NothIng.

Se ti è rimasto un solo candidato, io punterei su quello

[Gianfranco]

Lo dico subito: ho usato un po' di elettronica.
Però mi è piaciuto approfondire i numeri primi del tipo $n^2+1$.

Per esempio...

1) E' un primo della forma $k=n^2+1$.

2) Ha un primo gemello.

Quindi il suo gemello deve essere della forma $k+2$
perché $k-2 = n^2-1$ non è primo (tranne 3)

Inoltre k deve essere della forma $6t-1$
perché è il minore dei due gemelli quindi $n^2 = 6t-2$

Inoltre vari ragionamenti sull'ultima cifra di $k$ e sul range di $n$ e altre cose.

Ma dopo aver riempito alcuni fogli di scarabocchi non ho resistito: sono passato alla macchina.

Ecco il codice e il risultato. Il codice è scritto nel linguaggio ALGOL di wxMaxima.

trovapin.png (23.65 KiB) Visto 36574 volte

Abbiamo solo due candidati con le cifre pari al loro posto, ma uno solo di essi ha le cifre tutte diverse.
Però, ora che ci penso, anche il suo gemello potrebbe essere il pin.
Beh, dovrò provare due PIN.

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Codice: Seleziona tutto

for n:114 thru 314 do
(
k:n^2+1,
if primep(k) and primep(k+2) then disp(k)
);

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[franco]

Ho fatto un po' di pasticci con carta e penna anche io ...

Parto dall'informazione "$x=n^2+1$"
Poichè l'ultima cifra di $x$ deve essere dispari e diversa da $5$ (altrimenti $x$ non sarebbe primo), ne risulta che l'ultima cifra di $n$ non può che esere $0$, $4$ o $6$.
Con pochi altri pasticci si verifica subito che se l'ultima cifra di $n$ fosse $4$ o $6$, la penultima cifra di $x$ risulterebbe dispari, contraddicendo l'informazione "le cifre in posizione pari sono pari".
A questo punto ho stabilito che l'ultima cifra di $n$ è pari a $0$ e l'ultime due cifre di $x$ sono $01$.

Perchè il PIN risulti di cinque cifre (con la prima diversa da $1$ in quanto $1$ è la cifra finale), deve essere $n = 10k$ con k compreso fra $16$ e $31$.
Sono $16$ possibilità, gestibilissime con carta e penna.

Dei $16$ risultati, $10$ posso scartarli subito in quanto hanno cifre ripetute oppure dispari in posizione pari.
Altri $4$ li scarto in quanto la somma delle cifre è un numero pari e quindi non primo.

Rimangono solo $52901$ e $72901$.

Posso andare tranquillamente al bancomat per fare un prelievo: un errore me lo passa

(non ho usato l'informazione del numero gemello primo e nemmeno ho verificato che i numeri fossero effettivamente primi perchè con carta e penna non ci riesco!)

[Quelo]

Complimenti a tutti.

Franco ha seguito il procedimento che avevo pensato io.

Completato dall'osservazione di Gianfranco sui numeri primi gemelli:

52901 è nella forma 6k-1 (perché 52902 è multiplo di 6), quindi il suo "gemello" (nella forma 6k+1) sarebbe 52903 che potenzialmente è primo

72901 è nella forma 6k+1 (perché 72900 è multiplo di 6), quindi il suo "gemello" (nella forma 6k-1) sarebbe 72899 che sappiamo essere nella forma $n^2-1$, quindi composto da almeno 2 fattori ($(n-1)(n+1)$). Nel nostro caso 269 x 271