Albergo infinito e ordinali

[Paolo32]

Sia$w$ il primo ordinale maggiore di tutti i numeri naturali, sia A il classico albergo infinito con infinite stanze e che il numero delle stanze sia contabile, cioè si possa porre in corrispondenza biunivoca con$w$. I matematici chiamano $w$ la potenza del numerabile(o del contabile). Usando l'aritmetica ordinale si ha che $w^2 > w$. ( Anche se i due ordinali hanno la stessa cardinalità, ma l'aritmetica dei cardinali infiniti è diversa da quella degli ordinali). Quale è il modo in cui l'albergatore possa mettere $w^2$ ospiti? E quale accorgimento deve usare per collocare $w^w$ ospiti? (Anche $w^w$ è numerabile).

[Gianfranco]

Gli aleph e gli omega sono pieni di trappole, per me.
Forse, la questione su $\omega^2$ è risolta in modo simpatico da Raymond Smullyan nel suo libro Satana, Cantor e l'infinito, Bompiani, 1994, pag 240.
Io, però ho bisogno di una spiegazione dettagliata.

E quale accorgimento deve usare per collocare $w^w$ ospiti? (Anche $w^w$ è numerabile).

Cosa significa, precisamente $\large\omega^\omega$ ?

[Paolo32]

$w^w$ significa una successione di prodotti $w*w*w*w....$

[Paolo32]

Io ho usato l'esempio dell'albergo infinito, quindi il quesito si può risolvere con questa costruzione mentale senza usare formule analitiche: prendiamo $w^2$ che è una successione di somme: $w+w+w+w....$. l'insieme dei numeri primi è infinito e numerabile quindi prendo$w$ ospiti e li metto in tutte le stanze che son multiplo di due, altri$w$ in tutte le stanze multiple di tre, poi andando avanti così prendendo i multipli di tutti i numeri primi e mettendoci$w$ ospiti in ognuno ottengo $w+w+w+w+w...$ ed ho collocato quindi $w^2$ ospiti. Lasciamo perdere$w^w$, bisognerebbe numerare le stanze coi numeri razionali ed irrazionali algebrici.

[Gianfranco]

...prendo $w$ ospiti e li metto in tutte le stanze che son multiplo di due, altri $w$ in tutte le stanze multiple di tre, poi andando avanti così prendendo i multipli di tutti i numeri primi e mettendoci $w$ ospiti in ognuno...

Ho un dubbio.

Mandi $\omega$ ospiti nelle camere multiple di 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ... sono occupate.

Poi mandi $\omega$ ospiti nelle camere multiple di 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18 ... sono occupate.
Così, molti ospiti (anzi $\omega$ ospiti) trovano le camere multiple di 6 già occupate.

[Paolo32]

No, in questo caso ho considerato le stanze inizialmente tutte vuote.

[Gianfranco]

Non mi sembra che non funzioni, oppure non ho capito la tua spiegazione.

No, in questo caso ho considerato le stanze inizialmente tutte vuote.

...prendo $w$ ospiti e li metto in tutte le stanze che son multiplo di due, altri $w$ in tutte le stanze multiple di tre, poi andando avanti così prendendo i multipli di tutti i numeri primi e mettendoci $w$ ospiti in ognuno...

1) Le stanze sono tutte vuote, OK.

2) Quando mandi $\omega$ ospiti nelle camere multiple di 2, questi ospiti vanno ad occupare TUTTE le camere che sono multipli di 2.
Ora, le camere 2, 4, 6, 8, 10, etc. sono TUTTE occupate.

3) Poi, quando mandi $\omega$ ospiti nelle camere multiple di 3, questi ospiti VORREBBERO ANDARE ad occupare TUTTE le camere che sono multipli di 3.
Alcuni di essi però trovano la camera già occupata da un ospite precedente.
Per esempio l'ospite mandato nella camera 18 (che è un multiplo di 3) la trova già occupata da un ospite che era stato mandato in una camera multiplo di 2 (18 è multiplo di 2 e anche di 3)

In questo modo ci sono addirittura $\omega$ ospiti che trovano una camera multipla di 3 già occupata. Sarebbero tutte le camere numerate 6n, che sono i multipli pari di 3.

Forse, se si mandassero gli ospiti nelle camere che sono tutte le potenze di 2, tutte le potenze di 3 e poi di tutti gli altri numeri primi...???

[Paolo32]

Sì, erano le potenze dei numeri primi e non i multipli, mi ero sbagliato.

[NothIng]

Non so se convenga all'albergatore: la maggior parte delle stanze rimarrà vuota perchè come dice Gianfrango qui la "densità dei numeri primi negli interi è zero".

Inoltre l'albergatore spendera tanto per fare le enormi targhette delle porte che indicano il numero delle stanze...

[Gianfranco]

Non so se convenga all'albergatore: la maggior parte delle stanze rimarrà vuota...

Certamente!
Volevo proporre una soluzione che prendesse spunto da quella proposta da Paolo apportando soltanto una correzione minima.
Esistono soluzioni che non lasciano stanze vuote.
Comunque sono chiamati in causa non solo tutti i numeri primi ma anche tutte le loro potenze: per ogni numero primo ci sono $\aleph_0$ potenze.