ipercubo 5D

[Paolo32]

Certe teorie sostengono che le dimensioni estese del cubo che racchiude l'universo siano 5 e non le 4 classiche; se poniamo il valore del lato=1 quanto varrà la pseudo-superficie a 4D?

[franco]

Ciao Paolo e benvenuto.

Solo un chiarimento: cosa si intende pseudo superficie?
(forse la domanda è banale ma già quattro dimensioni sono tante ... cinque, anche peggio)

[Paolo32]

Per superficie intendo la dimensione dell'ipercubo meno uno. (Pseudo-superficie)

[Gianfranco]

Ciao Paolo, provo a dare una risposta folcloristica.
Premetto che non conosco questa materia, non so come è fatto l'Universo e non dimostrerò nulla, matematicamente.
Il nocciolo della questione è il binomio (a+2).
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Zero dimensioni.
Consideriamo un punto.

punto.png (531 Byte) Visto 52756 volte

$(a+2)^0 = 1$
Un punto ha 1 elemento di misura 0.

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Una dimensione.
Consideriamo un segmento.

segmento.png (1.16 KiB) Visto 52756 volte

$(a+2)^1=a+2$
Un segmento ha un elemento di misura a (la lunghezza) e 2 elementi di misura 0 (gli estremi)

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Due dimensioni.
Consideriamo un quadrato.

quadrato.png (1.9 KiB) Visto 52756 volte

$(a+2)^2=a^2+4a+4$
Un quadrato ha un elemento di misura a^2 (l'area), 4 elementi di misura a (il perimetro) e 4 elementi di misura 0 (i vertici)

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Tre dimensioni.
Consideriamo un cubo.

cubo.png (3.25 KiB) Visto 52756 volte

$(a+2)^3={{a}^{3}}+6 {{a}^{2}}+12 a+8$
Un cubo ha un elemento di misura a^3 (il volume), 6 elementi di misura a^2 (l'area), 12 elementi di misura a (somma degli spigoli) e 8 elementi di misura 0 (i vertici)

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Quattro dimensioni.
Consideriamo un ipercubo4.

$(a+2)^4={{a}^{4}}+8 {{a}^{3}}+24 {{a}^{2}}+32 a+16$
Un ipercubo4 ha un elemento di misura a^4 (il volume4), 8 elementi di misura a3 (la pseudo_area3), 24 elementi di misura a2 (la sua area 2D), 36 elementi di misura a e 16 elementi di misura 0

Dato un ipercubo a n dimensioni, se conveniamo di definire la sua pseudo-area come la somma delle misure dei suoi elementi a (n-1) dimensioni, allora la pseudo-area dell'ipercubo 4 di lato a=1 vale:
$8a^3=8\cdot1=8$

---
Cinque dimensioni.
Consideriamo un ipercubo5.

$(a+2)^5={{a}^{5}}+10 {{a}^{4}}+40 {{a}^{3}}+80 {{a}^{2}}+80 a+32$
Un ipercubo5 ha un elemento di misura a^5 (il volume5), 10 elementi di misura a4 (la pseudo_area4), 40 elementi di misura a3, 80 elementi di misura a^2 (la sua area 2D), 80 elementi di misura a e 32 elementi di misura 0

La pseudo-area dell'ipercubo 5 di lato a=1 vale:
$10a^4=10$

[Bruno]

Bello

[panurgo]

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Quattro dimensioni.
[...]

---
Cinque dimensioni.
[...]

Sei stato un po' pigro: mancano le figure!

[franco]

Ciao Paolo, provo a dare una risposta folcloristica.
...

Premetto che ne so anche meno di te

Però non mi torna .,.

in uno spazio a 1 dimensione, l' 1-ipercubo corrisponde a un segmento con dimensione 1 (nel caso proposto da Paolo).
mi sa che la pseudosuperficie non ha senso ...

in uno spazio a 2 dimensioni, il 2-ipercubo corrisponde a un quadrato di lato 1.
la pseudosuperficie dovrebbe corrispondere al perimetro e quindi valere 4

in uno spazio a 3 dimensioni il 3-ipercubo corrisponde a un cubo di lato 1
la pseudosuperficie dovrebbe corrispondere all'area delle facce e quindi valere 6

e poi comincia il mal di testa

...

un 5-ipercubo di lato 1 credo sia il luogo di punti (se così li posso chiamare) che abbiano coordinate (x, y, z, w, k) comprese fra 0 e 1.
detto ciò, la pseudosuperficie dovrebbe essere data dall'insieme di questi luoghi di punti:
(0, y, z, w, k)
(1, y, z, w, k)
(x, 0, z, w, k)
(x, 1, z, w, k)
...
(x, y, z, w, 0)
(x, y, z, w, 1)
azzarderei a dire che la pseudo superficie valga 10.

ciao

EDIT
Ho riletto con più attenzione la risposta de Gianfranco e adesso l'ho capita e "mi torna".
Del resto arrivavamo allo stesso valore ... poco probabile che fosse un caso

[Gianfranco]

Sei stato un po' pigro: mancano le figure!

Hai ragione.
Ho provato a disegnarli su un foglio 2D ma ci sono troppe dimensioni di differenza!
Disegnare un cubo 4D su un foglio è come disegnare un cubo 3D su una retta.
Disegnare un cubo 5D su un foglio è come disegnare un cubo 3D su un punto.

[panurgo]

SI potrebbe provare con le proiezioni ma temo che verrebbero terribilmente ripetitive (anche un ipercubo ha le sue simmetrie...)

ProeizioniDiUn3-Cubo.png (21.6 KiB) Visto 52732 volte

[Gianfranco]

SI potrebbe provare con le proiezioni ma temo che verrebbero terribilmente ripetitive (anche un ipercubo ha le sue simmetrie...)

Panurgo, ho fatto qualche esperimento con le proiezioni, non necessariamente ortogonali.
Si ottengono dei grafi carini.
Forse Giobimbo riesce a fare un grafo bello dell'ipercubo 5.
NOTA. I bollini dei vertici sono spostati leggermente in basso-destra per motivi legati al programma che ho usato (LibreOffice Draw). Gli spigoli, invece, sono posizionati abbastanza correttamente.
Da quadrato a cubo3: traslo il quadrato nella 3° dimensione e disegno 4 nuovi spigoli.

ipercubo3a.png (9.14 KiB) Visto 52707 volte

Da cubo3 a cubo4: traslo il cubo3 nella 4° dimensione e disegno 8 nuovi spigoli.

ipercubo4a.png (45.45 KiB) Visto 52707 volte

Da cubo4 a cubo5: traslo il cubo4 nella 5° dimensione e disegno 16 nuovi spigoli.

ipercubo5a.png (228.37 KiB) Visto 52707 volte

[Gianfranco]

azzarderei a dire che la pseudo superficie valga 10.

Ciao Franco,
anche a me viene 10, come hai notato.
Però il tuo approccio è più "scientifico", quindi ti chiedo, se hai tempo, di accennare al ragionamento che hai fatto per ottenere 10.

[franco]

Provo a spiegare un po' meglio il mio ragionamento.

Faccio l'esempio di un normale cubo nello spazio a 3 dimensioni.
Il cubo di lato unitario è il luogo dei punti le cui coordinate (x, y, z) sono comprese fra 0 e 1.
Il volume è pari a

ipercubo 1.png (2.93 KiB) Visto 52657 volte

La superficie è data dalla somma delle superfici delle facce ossia dei luoghi di punti aventi le seguenti coordinate:
(0, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(1, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(x, 0, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, 1, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
Per ognuno di essi, la superficie è pari a (faccio solo l'esempio del primo):

ipercubo2.png (2.19 KiB) Visto 52657 volte

In totale quindi la superficie del cubo vale 6.
(e sin qui, bastava anche la 5^ elementare )

Nello spazio a 4 dimensioni, l'ipercubo ha un iper-volume pari a 1 (non sto nemmeno a scrivere l'integrale quadruplo) e la pseudosuperficie è data dalla somma dei volumi dei cubi costituiti dai luoghi di punti in cui una delle quattro coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1.
Ognuno di questi volumi=pseudosuperficie parziale è pari a 1 e quindi la pseudosuperficie complessiva è pari a 8.

Per lo spazio a 5 dimensioni, la pseudosuperficie è pari alla somma degli iper-volumi a 4 dimensioni per i quali una delle cinque coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1. Quindi 10.

Generalizzando, credo di poter dire che in uno spazio a $N$ dimensioni lo N-ipercubo di lato unitario ha una N-pseudosuperficie pari a $2N$ ossia pari alla somma dei dei 2N (N-1)-ipervolumi dei luoghi di punti per i quali una delle N coordinate è pari a 0 o 1 e tutte le altre variano fra 0 e 1.


Spero di aver chiarito meglio e di non avre scritto castronerie

[Paolo32]

Un cubo 3D ha una superficie pari a 6 quadrati, sempre di lato unitario; se il cubo viene traslato i 6 quadrati diventano 6 cubi 3D, più il cubo di partenza più il cubo traslato(Quindi +2) e abbiamo 8 cubi 3D, traslando ancora avremo 8 cubi 4D+ 2cubi 4D nati dalla traslazione=10 cubi 4D.
Questo è il triangolo cubico che dà il numero di cubi, ipercubi, facce 2D, spigoli, vertici di un cubo a N dimensioni partendo dallo 0:

1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1
32 80 80 40 10 1
...