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ipercubo 5D
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ipercubo 5D
Certe teorie sostengono che le dimensioni estese del cubo che racchiude l'universo siano 5 e non le 4 classiche; se poniamo il valore del lato=1 quanto varrà la pseudo-superficie a 4D? ![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
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Re: ipercubo 5D
Ciao Paolo e benvenuto.
Solo un chiarimento: cosa si intende pseudo superficie?
(forse la domanda è banale ma già quattro dimensioni sono tante ... cinque, anche peggio)
Solo un chiarimento: cosa si intende pseudo superficie?
(forse la domanda è banale ma già quattro dimensioni sono tante ... cinque, anche peggio)
Franco
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Re: ipercubo 5D
Per superficie intendo la dimensione dell'ipercubo meno uno. (Pseudo-superficie)
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Re: ipercubo 5D
Ciao Paolo, provo a dare una risposta folcloristica.
Premetto che non conosco questa materia, non so come è fatto l'Universo e non dimostrerò nulla, matematicamente.
Il nocciolo della questione è il binomio (a+2).
---
Zero dimensioni.
Consideriamo un punto. $(a+2)^0 = 1$
Un punto ha 1 elemento di misura 0.
---
Una dimensione.
Consideriamo un segmento. $(a+2)^1=a+2$
Un segmento ha un elemento di misura a (la lunghezza) e 2 elementi di misura 0 (gli estremi)
---
Due dimensioni.
Consideriamo un quadrato. $(a+2)^2=a^2+4a+4$
Un quadrato ha un elemento di misura a^2 (l'area), 4 elementi di misura a (il perimetro) e 4 elementi di misura 0 (i vertici)
---
Tre dimensioni.
Consideriamo un cubo. $(a+2)^3={{a}^{3}}+6 {{a}^{2}}+12 a+8$
Un cubo ha un elemento di misura a^3 (il volume), 6 elementi di misura a^2 (l'area), 12 elementi di misura a (somma degli spigoli) e 8 elementi di misura 0 (i vertici)
---
Quattro dimensioni.
Consideriamo un ipercubo4.
$(a+2)^4={{a}^{4}}+8 {{a}^{3}}+24 {{a}^{2}}+32 a+16$
Un ipercubo4 ha un elemento di misura a^4 (il volume4), 8 elementi di misura a3 (la pseudo_area3), 24 elementi di misura a2 (la sua area 2D), 36 elementi di misura a e 16 elementi di misura 0
Dato un ipercubo a n dimensioni, se conveniamo di definire la sua pseudo-area come la somma delle misure dei suoi elementi a (n-1) dimensioni, allora la pseudo-area dell'ipercubo 4 di lato a=1 vale:
$8a^3=8\cdot1=8$
---
Cinque dimensioni.
Consideriamo un ipercubo5.
$(a+2)^5={{a}^{5}}+10 {{a}^{4}}+40 {{a}^{3}}+80 {{a}^{2}}+80 a+32$
Un ipercubo5 ha un elemento di misura a^5 (il volume5), 10 elementi di misura a4 (la pseudo_area4), 40 elementi di misura a3, 80 elementi di misura a^2 (la sua area 2D), 80 elementi di misura a e 32 elementi di misura 0
La pseudo-area dell'ipercubo 5 di lato a=1 vale:
$10a^4=10$
Premetto che non conosco questa materia, non so come è fatto l'Universo e non dimostrerò nulla, matematicamente.
Il nocciolo della questione è il binomio (a+2).
---
Zero dimensioni.
Consideriamo un punto. $(a+2)^0 = 1$
Un punto ha 1 elemento di misura 0.
---
Una dimensione.
Consideriamo un segmento. $(a+2)^1=a+2$
Un segmento ha un elemento di misura a (la lunghezza) e 2 elementi di misura 0 (gli estremi)
---
Due dimensioni.
Consideriamo un quadrato. $(a+2)^2=a^2+4a+4$
Un quadrato ha un elemento di misura a^2 (l'area), 4 elementi di misura a (il perimetro) e 4 elementi di misura 0 (i vertici)
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Tre dimensioni.
Consideriamo un cubo. $(a+2)^3={{a}^{3}}+6 {{a}^{2}}+12 a+8$
Un cubo ha un elemento di misura a^3 (il volume), 6 elementi di misura a^2 (l'area), 12 elementi di misura a (somma degli spigoli) e 8 elementi di misura 0 (i vertici)
---
Quattro dimensioni.
Consideriamo un ipercubo4.
$(a+2)^4={{a}^{4}}+8 {{a}^{3}}+24 {{a}^{2}}+32 a+16$
Un ipercubo4 ha un elemento di misura a^4 (il volume4), 8 elementi di misura a3 (la pseudo_area3), 24 elementi di misura a2 (la sua area 2D), 36 elementi di misura a e 16 elementi di misura 0
Dato un ipercubo a n dimensioni, se conveniamo di definire la sua pseudo-area come la somma delle misure dei suoi elementi a (n-1) dimensioni, allora la pseudo-area dell'ipercubo 4 di lato a=1 vale:
$8a^3=8\cdot1=8$
---
Cinque dimensioni.
Consideriamo un ipercubo5.
$(a+2)^5={{a}^{5}}+10 {{a}^{4}}+40 {{a}^{3}}+80 {{a}^{2}}+80 a+32$
Un ipercubo5 ha un elemento di misura a^5 (il volume5), 10 elementi di misura a4 (la pseudo_area4), 40 elementi di misura a3, 80 elementi di misura a^2 (la sua area 2D), 80 elementi di misura a e 32 elementi di misura 0
La pseudo-area dell'ipercubo 5 di lato a=1 vale:
$10a^4=10$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: ipercubo 5D
Bello ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
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(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
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Re: ipercubo 5D
Sei stato un po' pigro: mancano le figure!Gianfranco ha scritto: ↑ven nov 17, 2023 1:27 pm---
Quattro dimensioni.
[...]
---
Cinque dimensioni.
[...]
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il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: ipercubo 5D
Premetto che ne so anche meno di teGianfranco ha scritto: ↑ven nov 17, 2023 1:27 pmCiao Paolo, provo a dare una risposta folcloristica.
...
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Però non mi torna .,.
in uno spazio a 1 dimensione, l' 1-ipercubo corrisponde a un segmento con dimensione 1 (nel caso proposto da Paolo).
mi sa che la pseudosuperficie non ha senso ...
in uno spazio a 2 dimensioni, il 2-ipercubo corrisponde a un quadrato di lato 1.
la pseudosuperficie dovrebbe corrispondere al perimetro e quindi valere 4
in uno spazio a 3 dimensioni il 3-ipercubo corrisponde a un cubo di lato 1
la pseudosuperficie dovrebbe corrispondere all'area delle facce e quindi valere 6
e poi comincia il mal di testa
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...
un 5-ipercubo di lato 1 credo sia il luogo di punti (se così li posso chiamare) che abbiano coordinate (x, y, z, w, k) comprese fra 0 e 1.
detto ciò, la pseudosuperficie dovrebbe essere data dall'insieme di questi luoghi di punti:
(0, y, z, w, k)
(1, y, z, w, k)
(x, 0, z, w, k)
(x, 1, z, w, k)
...
(x, y, z, w, 0)
(x, y, z, w, 1)
azzarderei a dire che la pseudo superficie valga 10.
ciao
EDIT
Ho riletto con più attenzione la risposta de Gianfranco e adesso l'ho capita e "mi torna".
Del resto arrivavamo allo stesso valore ... poco probabile che fosse un caso
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Ultima modifica di franco il ven nov 17, 2023 9:43 pm, modificato 1 volta in totale.
Franco
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Re: ipercubo 5D
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Hai ragione.
Ho provato a disegnarli su un foglio 2D ma ci sono troppe dimensioni di differenza!
Disegnare un cubo 4D su un foglio è come disegnare un cubo 3D su una retta.
Disegnare un cubo 5D su un foglio è come disegnare un cubo 3D su un punto.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: ipercubo 5D
SI potrebbe provare con le proiezioni ma temo che verrebbero terribilmente ripetitive (anche un ipercubo ha le sue simmetrie...)
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Re: ipercubo 5D
Panurgo, ho fatto qualche esperimento con le proiezioni, non necessariamente ortogonali.
Si ottengono dei grafi carini.
Forse Giobimbo riesce a fare un grafo bello dell'ipercubo 5.
NOTA. I bollini dei vertici sono spostati leggermente in basso-destra per motivi legati al programma che ho usato (LibreOffice Draw). Gli spigoli, invece, sono posizionati abbastanza correttamente.
Da quadrato a cubo3: traslo il quadrato nella 3° dimensione e disegno 4 nuovi spigoli. Da cubo3 a cubo4: traslo il cubo3 nella 4° dimensione e disegno 8 nuovi spigoli. Da cubo4 a cubo5: traslo il cubo4 nella 5° dimensione e disegno 16 nuovi spigoli.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: ipercubo 5D
Ciao Franco,
anche a me viene 10, come hai notato.
Però il tuo approccio è più "scientifico", quindi ti chiedo, se hai tempo, di accennare al ragionamento che hai fatto per ottenere 10.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: ipercubo 5D
Provo a spiegare un po' meglio il mio ragionamento.
Faccio l'esempio di un normale cubo nello spazio a 3 dimensioni.
Il cubo di lato unitario è il luogo dei punti le cui coordinate (x, y, z) sono comprese fra 0 e 1.
Il volume è pari a La superficie è data dalla somma delle superfici delle facce ossia dei luoghi di punti aventi le seguenti coordinate:
(0, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(1, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(x, 0, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, 1, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
Per ognuno di essi, la superficie è pari a (faccio solo l'esempio del primo): In totale quindi la superficie del cubo vale 6.
(e sin qui, bastava anche la 5^ elementare
)
Nello spazio a 4 dimensioni, l'ipercubo ha un iper-volume pari a 1 (non sto nemmeno a scrivere l'integrale quadruplo) e la pseudosuperficie è data dalla somma dei volumi dei cubi costituiti dai luoghi di punti in cui una delle quattro coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1.
Ognuno di questi volumi=pseudosuperficie parziale è pari a 1 e quindi la pseudosuperficie complessiva è pari a 8.
Per lo spazio a 5 dimensioni, la pseudosuperficie è pari alla somma degli iper-volumi a 4 dimensioni per i quali una delle cinque coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1. Quindi 10.
Generalizzando, credo di poter dire che in uno spazio a $N$ dimensioni lo N-ipercubo di lato unitario ha una N-pseudosuperficie pari a $2N$ ossia pari alla somma dei dei 2N (N-1)-ipervolumi dei luoghi di punti per i quali una delle N coordinate è pari a 0 o 1 e tutte le altre variano fra 0 e 1.
Spero di aver chiarito meglio e di non avre scritto castronerie
Faccio l'esempio di un normale cubo nello spazio a 3 dimensioni.
Il cubo di lato unitario è il luogo dei punti le cui coordinate (x, y, z) sono comprese fra 0 e 1.
Il volume è pari a La superficie è data dalla somma delle superfici delle facce ossia dei luoghi di punti aventi le seguenti coordinate:
(0, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(1, y, z) con y e z compresi fra 0 e 1
(x, 0, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, 1, z) con x e z compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
(x, y, 0) con x e y compresi fra 0 e 1
Per ognuno di essi, la superficie è pari a (faccio solo l'esempio del primo): In totale quindi la superficie del cubo vale 6.
(e sin qui, bastava anche la 5^ elementare
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Nello spazio a 4 dimensioni, l'ipercubo ha un iper-volume pari a 1 (non sto nemmeno a scrivere l'integrale quadruplo) e la pseudosuperficie è data dalla somma dei volumi dei cubi costituiti dai luoghi di punti in cui una delle quattro coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1.
Ognuno di questi volumi=pseudosuperficie parziale è pari a 1 e quindi la pseudosuperficie complessiva è pari a 8.
Per lo spazio a 5 dimensioni, la pseudosuperficie è pari alla somma degli iper-volumi a 4 dimensioni per i quali una delle cinque coordinate è pari a 0 o 1 e le altre 3 variano fra 0 e 1. Quindi 10.
Generalizzando, credo di poter dire che in uno spazio a $N$ dimensioni lo N-ipercubo di lato unitario ha una N-pseudosuperficie pari a $2N$ ossia pari alla somma dei dei 2N (N-1)-ipervolumi dei luoghi di punti per i quali una delle N coordinate è pari a 0 o 1 e tutte le altre variano fra 0 e 1.
Spero di aver chiarito meglio e di non avre scritto castronerie
Franco
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Re: ipercubo 5D
Un cubo 3D ha una superficie pari a 6 quadrati, sempre di lato unitario; se il cubo viene traslato i 6 quadrati diventano 6 cubi 3D, più il cubo di partenza più il cubo traslato(Quindi +2) e abbiamo 8 cubi 3D, traslando ancora avremo 8 cubi 4D+ 2cubi 4D nati dalla traslazione=10 cubi 4D.
Questo è il triangolo cubico che dà il numero di cubi, ipercubi, facce 2D, spigoli, vertici di un cubo a N dimensioni partendo dallo 0:
1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1
32 80 80 40 10 1
...
Questo è il triangolo cubico che dà il numero di cubi, ipercubi, facce 2D, spigoli, vertici di un cubo a N dimensioni partendo dallo 0:
1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1
32 80 80 40 10 1
...