Piazzare I numeri da 1 a 8 ai vertici di un cubo in modo che ciascuna faccia sia bilanciata. In una faccia bilanciata, la somma dei numeri agli estremi di una diagonale uguaglia quella dei numeri agli estremi dell’altra.
Dal blog di Tanya Khovanova
Un cubo bilanciato
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Un cubo bilanciato
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Alessandro B
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Re: Un cubo bilanciato
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Re: Un cubo bilanciato
Mi piacerebbe conoscere il procedimento che hai seguito...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Alessandro B
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Re: Un cubo bilanciato
In realtà lo ho fatto a tentativi, e mi è venuto al primo tentativo.
Ho cominciato mettendo le cifre da 1 a 4 su una faccia, ed esiste un solo modo per farlo in modo bilanciato.
Ho messo le cifre da 5 a 8 nella faccia opposta nel solo modo che risulta bilanciato.
Poi ho ruotato una faccia rispetto all'altra (e ci sono solo 4 posizioni possibili)
Al primo tentativo mi è venuta fuori una soluzione valida.
Ho cominciato mettendo le cifre da 1 a 4 su una faccia, ed esiste un solo modo per farlo in modo bilanciato.
Ho messo le cifre da 5 a 8 nella faccia opposta nel solo modo che risulta bilanciato.
Poi ho ruotato una faccia rispetto all'altra (e ci sono solo 4 posizioni possibili)
Al primo tentativo mi è venuta fuori una soluzione valida.
Re: Un cubo bilanciato
Anch'io sono andato per tentativi all'inizio: ho disegnato un grafo che evidenziasse le connessioni diagonali
poi ho posizionato $1$, $2$, $3$ e $4$ e così via
Solo dopo ho cominciato a pensare.
Etichettiamo i vertici della faccia superiore con $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ e $\text{D}$ e i corrispondenti della faccia inferiore con $\text{A}^\prime$, $\text{B}^\prime$, $\text{C}^\prime$ e $\text{D}^\prime$: possiamo scrivere sei equazioni di bilanciamento
$\begin{array}{llC}
\left(1\right) & a+c=b+d\\
\left(2\right) & a+b^\prime=b+a^\prime\\
\left(3\right) & a+d^\prime=d+a^\prime\\
\left(4\right) & b+c^\prime=c+b^\prime\\
\left(5\right) & c+d^\prime=d+c^\prime\\
\left(6\right) & a^\prime+c^\prime=b^\prime+d^\prime
\end {array}$
Da queste, con pochi passaggi di facile algebra
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(2\right) & a+b^\prime =b+a^\prime & = \\
\hline
& c+a^\prime =d+b^\prime &
\end {array}$
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(3\right) & b+c^\prime =c+b^\prime & = \\
\hline
& a+c^\prime =d+b^\prime &
\end {array}$
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(4\right) & c+d^\prime =d+c^\prime & = \\
\hline
& a+c^\prime =b+d^\prime &
\end {array}$
se ne ricava una settima
$\begin{array}{llC}
\left(7\right) & a+c^\prime=b+d^\prime=c+a^\prime=d+b^\prime
\end {array}$
ovvero, in un Cubo Bilanciato le somme degli estremi opposti delle diagonali principali sono tutte uguali. E l'unico modo di disporre i numeri da $1$ a $8$ in quattro somme uguali è
$1+8=2+7=3+6=4+5=9$
quindi a $1-2-4-3$ corrisponde $5-6-8-7$.
C'è un unico modo di disporre i numeri da $1$ a $8$ in quattro somme uguali quindi la soluzione è unica (a meno di rotazioni e riflessioni...)
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Etichettiamo i vertici della faccia superiore con $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ e $\text{D}$ e i corrispondenti della faccia inferiore con $\text{A}^\prime$, $\text{B}^\prime$, $\text{C}^\prime$ e $\text{D}^\prime$: possiamo scrivere sei equazioni di bilanciamento
$\begin{array}{llC}
\left(1\right) & a+c=b+d\\
\left(2\right) & a+b^\prime=b+a^\prime\\
\left(3\right) & a+d^\prime=d+a^\prime\\
\left(4\right) & b+c^\prime=c+b^\prime\\
\left(5\right) & c+d^\prime=d+c^\prime\\
\left(6\right) & a^\prime+c^\prime=b^\prime+d^\prime
\end {array}$
Da queste, con pochi passaggi di facile algebra
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(2\right) & a+b^\prime =b+a^\prime & = \\
\hline
& c+a^\prime =d+b^\prime &
\end {array}$
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(3\right) & b+c^\prime =c+b^\prime & = \\
\hline
& a+c^\prime =d+b^\prime &
\end {array}$
$\begin{array}{llrC}
\left(1\right) & a+c =b+d & - \\
\left(4\right) & c+d^\prime =d+c^\prime & = \\
\hline
& a+c^\prime =b+d^\prime &
\end {array}$
se ne ricava una settima
$\begin{array}{llC}
\left(7\right) & a+c^\prime=b+d^\prime=c+a^\prime=d+b^\prime
\end {array}$
ovvero, in un Cubo Bilanciato le somme degli estremi opposti delle diagonali principali sono tutte uguali. E l'unico modo di disporre i numeri da $1$ a $8$ in quattro somme uguali è
$1+8=2+7=3+6=4+5=9$
quindi a $1-2-4-3$ corrisponde $5-6-8-7$.
C'è un unico modo di disporre i numeri da $1$ a $8$ in quattro somme uguali quindi la soluzione è unica (a meno di rotazioni e riflessioni...)
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