Problema sui numeri primi

[Alessandro B]

Sapreste trovare un numero intero N tale che:

(N+1) sia un numero primo
(N+2)/2 sia un numero primo
(N+3)/3 sia un numero primo
(N+4)/4 sia un numero primo


Quale è il più piccolo valore di N che ha tali proprietà?

[Maurizio59]

Riscriviamo le quattro relazioni in questo modo:
$N+1$
$\frac N2+1$
$\frac N3+1$
$\frac N4+1$
Il primo termine delle quattro relazioni deve essere un numero intero pari per cui N deve essere contemporaneamente multiplo di 4, 6, 8, cioè deve essere multiplo di 24.
Poniamo perciò N = 24M e otteniamo le relazioni:
24M + 1
12M + 1
8M + 1
6M + 1
Ora possiamo migliorare il nostro crivello notando che il primo termine di queste quattro relazioni non può terminare con la cifra 4.
Infatti questo porterebbe ad un numero la cui ultima cifra sarebbe 5 per cui il numero sarebbe un multiplo di 5.
Questo implica che M non deve finire con le cifre 1,6 (24M) 2,7 (12M) 3,8 (8M) 4,9 (6M).
L'ultima cifra di M può dunque essere solo 0 o 5 per cui M deve essere un multiplo di 5.
Sostituendo M con 5K otteniamo le relazioni:
120K + 1
60K + 1
40K + 1
30K + 1
A questo punto non sono riuscito a migliorare ulteriormente il mio crivello.
Ho perciò inserito i possibili valori di K (K = 1, K = 2, K = 3...) e verificato che tutti i risultati fossero numeri primi.
Il primo valore di K che soddisfa tutte le relazioni è K = 106 che restituisce i seguenti numeri primi: 12721, 6361, 4241, 3181.
Da K = 106 si ricava N = 120K = 12720.
(Salvo errori ed omissioni)

Non essendo un esperto di teoria dei numeri sono propenso a credere che esista un modo per evitare il ricorso alle varie sostituzioni.

[Alessandro B]

Bene Maurizio,
la soluzione è corretta ed il procedimento è molto simile a quello che ho trovato io.

Ma si può migliorare il crivello facendo uso della aritmetica modulare,
in modo di ridurre notevolmente il numero dei tentativi necessari per trovare questo risultato.

[Alessandro B]

Partendo dalla soluzione di Maurizio, vi mostro come si possa migliorare il crivello.


Inizio notando che per K=2 si ha che 40K+1=81 che è un multiplo di 3,
da ciò deduco che per tutti i valori di K=2 (modulo 3) si ottiene un multiplo di 3
Infatti, prendendo un qualsiasi valore intero Z si ha che 40*(2+3Z)+1=81+120Z che è un multiplo di 3

Analogamente noto che:
per K=3 si ha che 30K+1=91 che è un multiplo di 7
da ciò deduco che per tutti i valori di K=3 (modulo 7) si ottiene un multiplo di 7
per K=4 si ha che 40K+1=161 che è un multiplo di 7
da ciò deduco che per tutti i valori di K=4 (modulo 7) si ottiene un multiplo di 7
per K=5 si ha che 60K+1=301 che è un multiplo di 7
da ciò deduco che per tutti i valori di K=5 (modulo 7) si ottiene un multiplo di 7
per K=6 si ha che 120K+1=721 che è un multiplo di 7
da ciò deduco che per tutti i valori di K=6 (modulo 7) si ottiene un multiplo di 7

per K=1 si ha che 120K+1=121 che è un multiplo di 11
da ciò deduco che per tutti i valori di K=1 (modulo 11) si ottiene un multiplo di 11
per K=2 si ha che 60K+1=121 che è un multiplo di 11
da ciò deduco che per tutti i valori di K=2 (modulo 11) si ottiene un multiplo di 11
per K=3 si ha che 40K+1=121 che è un multiplo di 11
da ciò deduco che per tutti i valori di K=3 (modulo 11) si ottiene un multiplo di 11
per K=4 si ha che 30K+1=121 che è un multiplo di 11
da ciò deduco che per tutti i valori di K=4 (modulo 11) si ottiene un multiplo di 11

per K=4 si ha che 120K+1=481 che è un multiplo di 13
da ciò deduco che per tutti i valori di K=4 (modulo 13) si ottiene un multiplo di 13
per K=8 si ha che 60K+1=481 che è un multiplo di 13
da ciò deduco che per tutti i valori di K=8 (modulo 13) si ottiene un multiplo di 13
per K=12 si ha che 40K+1=481 che è un multiplo di 13
da ciò deduco che per tutti i valori di K=12 (modulo 13) si ottiene un multiplo di 13
per K=16 si ha che 30K+1=481 che è un multiplo di 13
da ciò deduco che per tutti i valori di K=16 (modulo 13) si ottiene un multiplo di 13

per K=13 si ha che 30K+1=391 che è un multiplo di 17
da ciò deduco che per tutti i valori di K=13 (modulo 17) si ottiene un multiplo di 17
per K=14 si ha che 40K+1=561 che è un multiplo di 17
da ciò deduco che per tutti i valori di K=14 (modulo 17) si ottiene un multiplo di 17
per K=15 si ha che 60K+1=901 che è un multiplo di 17
da ciò deduco che per tutti i valori di K=15 (modulo 17) si ottiene un multiplo di 17
per K=16 si ha che 120K+1=1921 che è un multiplo di 17
da ciò deduco che per tutti i valori di K=16 (modulo 17) si ottiene un multiplo di 17

E cosi si può proseguire con i successivi numeri primi,

in questo modo si migliora il crivello e si trova rapidamente che il primo valore di K che soddisfa tutte le relazioni è K=106

[Maurizio59]

...
Interessante.
Io, crivellando... crivellando, ho trovato i primi quattro valori di K che verificano le condizioni date.
Essi sono K = 106, K = 141, K = 162, K = 204.
Ho perciò congetturato che debba essere K = 1 (modulo 7).

[Alessandro B]

Riguardo a K=162 ho notato che in questo caso vale anche la ulteriore relazione: (N+5)/5 sia un numero primo



Infatti, per K=162 si ha N=162*120=19440

ed abbiamo:
(19440+1) = 19441 che è un numero primo
(19440+2)/2 = 9721 che è un numero primo
(19440+3)/3 = 6481 che è un numero primo
(19440+4)/4 = 4861 che è un numero primo
(19440+5)/5 = 3889 che è un numero primo

[Alessandro B]

...
Interessante.
Io, crivellando... crivellando, ho trovato i primi quattro valori di K che verificano le condizioni date.
Essi sono K = 106, K = 141, K = 162, K = 204.
Ho perciò congetturato che debba essere K = 1 (modulo 7).

Purtroppo la congettura non risulta vera.

Infatti con K=868 abbiamo N=868*120=104160

120*868+1=104161
60*868+1=52081
40*868+1=34721
30*868+1=26041

E sono tutti dei numeri primi

Ed essendo K=868 divisibile per 7 risulta purtroppo che la tua congettura non è valida.

[Quelo]

Nei primi 10 milioni non c'è nessuna sequenza da 6, ma ce n'è una da 7:

(5516280+1) = 5516281
(5516280+2)/2 = 2758141
(5516280+3)/3 = 1838761
(5516280+4)/4 = 1379071
(5516280+5)/5 = 1103257
(5516280+6)/6 = 919381
(5516280+7)/7 = 788041

Sequenze da 6 le troviamo per N = 16831080 e N = 29743560

Altre da 7 per N = 18164160 e N = 51755760

Nessuna sequenza da 8 in 100 milioni

[Quelo]

Emergono delle sequenze da 8 ma solo dopo i 7 miliardi

7321991041, 3660995521, 2440663681, 1830497761, 1464398209, 1220331841, 1045998721, 915248881
7391371681, 3695685841, 2463790561, 1847842921, 1478274337, 1231895281, 1055910241, 923921461

Possiamo congetturare che non c'è limite alla lunghezza della sequenza

[Gianfranco]

Cari amici, siete bravissimi! Grazie per i ragionamenti davvero interessanti e sorprendenti che ci avete comunicato: scrivere matematica è bello ma anche molto faticoso.