Questo problema è un'estensione in 3 dimensioni di un classico problema della rete stradale ottima tra i vertici di un quadrato.
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Abbiamo 8 punti che si trovano sui vertici di un cubo di lato 10.
Vogliamo costruire una rete di condutture rettilinee che permettano di andare da qualunque vertice a qualunque altro vertice.
Vogliamo che la lunghezza totale di tutte le condutture sia la più corta possibile.
Come è fatta la rete più corta e quanto misura?
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La figura mostra una possibile rete, ma non quella più più corta.
Un chiarimento: è ammissibile che da un vertice partano più di 2 collegamenti?
Addendum: 70 indica il percorso più lungo tra 2 punti (nel tuo esempio, da A a E), o è la somma dei tratti 'coperti' da tubi (quindi AB + BC+... ma non BF)?
Un chiarimento: è ammissibile che da un vertice partano più di 2 collegamenti?
Addendum: 70 indica il percorso più lungo tra 2 punti (nel tuo esempio, da A a E), o è la somma dei tratti 'coperti' da tubi (quindi AB + BC+... ma non BF)?
a) Non so qual è la rete di lunghezza minima, perciò non pongo limiti. Tutto e ammissibile.
b) La linea rossa è un esempio di rete che permette di andare da ogni vertice a ogni altro vertice. 70 indica la lunghezza di tale rete. Questa rete non è vantaggiosa per chi deve spostarsi perché per esempio, per andare da A ad E bisogna percorrerla tutta. Ma il problema NON chiede che sia vantaggiosa per chi deve spostarsi.
c) Una precisazione: la rete di "tubi" può svolgersi anche dentro il volume del cubo. Non deve necessariamente stare solo sulla sua superficie. Per esempio, la rete nella figura seguente è più corta della precedente. Ma non è quella minima.
Disegnando le diagonali su due facce opposte del cubo e il segmento che unisce i punti di intersezione la lunghezza delle tubazioni scende a 66,568.
tubi cubo.png (55.71 KiB) Visto 59005 volte
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
...
Ma ricordando la rete minima nel quadrato forse si può migliorare ancora.
Ricorrendo alla rete minima del quadrato per le due facce opposte si ottiene $L=10(3+2\sqrt3)$ cioè 64,641...
Io ho trovato una rete con una lunghezza minore di 62.
