Disegnare un poligono regolare

[Maurizio59]

Voglio disegnare un poligono regolare, comprensivo di tutte le sue diagonali, i cui lati misurano 1 cm.
Ho a disposizione una biro che mi permette di tracciare linee della lunghezza complessiva di 1 km.
Quanti lati ha, al massimo, il poligono regolare?

[Gianfranco]

Problema interessante e fantasioso!
Devo mettermi a fare dei calcoli...
Per ora lancio solo questo spunto dal quale si può ricavare una formula abbastanza semplice e generale.
Poi, facendo variare il numero dei lati, si può trovare il risultato più vicino a 100 000 cm
Prendiamo come esempio un ottagono.

somma_lati_diag1.png (38.41 KiB) Visto 43664 volte

Come calcolare la somma delle lunghezze di tutti i lati e di tutte le diagonali?
1) Sapendo che $1=2r\cos3\alpha$, si può ricavare il valore di $r$.

2) Si usa il valore di $r$ per calcolare le lunghezze delle tre diagonali segnate nella figura.

3) Si addizionano le tre diagonali e il lato e si moltiplica per 8 la somma ottenuta.

4) Con qualche ragionamento e qualche calcolo si generalizza il caso dell'ottagono ad un poligono regolare con un numero pari di lati.

5) Con un po' di attenzione, si generalizza il risultato a un poligono con un numero dispari di lati.
Ah, dimenticavo:
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{8}$ (corretto)

Salvo erori & ommisioni.

[Maurizio59]

Bene Gianfranco, sei sulla strada giusta.

[Gianfranco]

Forse può essere utile:
$\displaystyle\cos{\left( n a\right) }+ ... +\cos{\left( 3 a\right) }+\cos{\left( 2 a\right) }+\cos{(a)}+1=\frac{\sin{\left( \left( n+\frac{1}{2}\right) a \right) }+\sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}$

Salvo erori & ommisioni

[Gianfranco]

Ok, riprendiamo la formuletta.
Consideriamo un poligono regolare di $n$ lati lunghi $1$, con n numero pari.
1) Ha $\frac{n}{2}-1$ diagonali di lunghezze distinte.
2) L'angolo tra le diagonali misura:
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{n}$
3) Ciascuna diagonale distinta è ripetuta $n$ volte. (correzione: la diagonale principale, uguale al diametro, è ripetuta n/2 volte, vedi intervento di Quelo più avanti)
4) Il diametro $d$ è lungo:
$ \displaystyle d=\frac{1}{\cos((\frac {n}{2}-1)\alpha)}$
5) Rielaborando le considerazioni precedenti si ottiene una formula diretta per calcolare la somma delle lunghezze di tutte le diagonali e di tutti i lati del poligono SDL:
$\displaystyle SDL=n\cdot d \cdot \frac{\sin{\left( \left( \frac{n-1}{2}\right) \alpha \right) }+\sin{\left( \frac{\alpha}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{\alpha}{2}\right) }}$ (bisogna sottrarre n/2 diagonali principali)
---
Dovremmo ora uguagliare tale lunghezza, espressa in cm, alla lunghezza di 1 km = 100 000 cm e calcolare $n$.
Non l'ho fatto.
Ho solo proceduto per (pochi) tentativi.
Dai tentativi risulta che il poligono dovrebbe avere tra 98 e 100 lati.
Forse 99 va bene?
Ma in tal caso bisogna adattare la formula a un numero dispari di lati.
Però ora mi fermo perché ho buttato giù le cose troppo in fretta e non so neanche se sono giuste.

[Maurizio59]

...
5) Rielaborando le considerazioni precedenti si ottiene una formula diretta per calcolare la somma delle lunghezze di tutte le diagonali e di tutti i lati del poligono SDL:
$\displaystyle SDL=n\cdot d \cdot \frac{\sin{\left( \left( n+\frac{1}{2}\right) a \right) }+\sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}$
---
Forse 99 va bene?
...

La formula da te trovata è sbagliata in quanto semplificando si ha che la somma è sempre 0.
Forse hai sbagliato a scriverla.
Per quanto riguarda il numero di lati 99 va bene.

[Gianfranco]

Sì, hai ragione, ho corretto.

In realtà la formula che usavo è:
sommadl3=n_lati*diametro*(SIN(alfa/2)+(SIN(((n_lati-1)/2)*alfa)))/(2*SIN(alfa/2))

Nel trascriverla in LaTeX, ho messo qualche parentesi delle frazioni nel posto sbagliato.
\displaystyle SDL=n\cdot d \cdot \frac{\sin{\left( \left( n+\frac{1}{2}\right) a \right) }+\sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}

Appena ho tempo, sostituisco anche "a" con "\alpha".
Fatto.

SPERO che così sia giusta...

[Gianfranco]

Maurizio59,
propongo di modificare il titolo del tuo problema in modo che faccia un riferimento più chiaro al contenuto.
Per esempio:
Somma dei lati e delle diagonali di un poligono regolare

[Quelo]

Ciao Gianfranco, bel lavoro!

Testando qualche poligono mi sono però accorto che la tua formula conteggia due volte le diagonali principali (quelle tra vertici opposti) che non sono in numero pari ai lati ma la metà
Quindi la formula corretta dovrebbe essere

$\displaystyle SDL=n \cdot d \cdot \frac{\sin{(\frac{n-1}{2} \alpha)}+\sin{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}}-\frac{n}{2}d$

La sostanza non cambia perchè il poligono da 1km si colloca sempre tra 98 e 99

Essendo il poligono con 100 lati "lungo" 101329,5 mentre quello da 98 lati 95370,8 possiamo supporre che la soluzione sia 99

SE&O

[Maurizio59]

...
Quindi la formula corretta dovrebbe essere

$\displaystyle SDL=n \cdot d \cdot \frac{\sin{(\frac{n-1}{2} \alpha)}+\sin{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}}-\frac{n}{2}d$

La sostanza non cambia perchè il poligono da 1km si colloca sempre tra 98 e 99

Essendo il poligono con 100 lati "lungo" 101329,5 mentre quello da 98 lati 95370,8 possiamo supporre che la soluzione sia 99

SE&O

Bene Quelo. Però la tua formula si può semplificare notevolmente.
Inoltre essa è valida anche se il numero di lati del poligono è dispari.

[Gianfranco]

Testando qualche poligono mi sono però accorto che la tua formula conteggia due volte le diagonali principali

Acc...! Hai ragione, grazie!
Il bello è che lo sapevo coscientemente e avevo deciso di tenerne conto, ma poi me lo sono dimenticato! Vecchiaia...
Per quel che riguarda n dispari, farei qualche ragionamento a partire dal poligono regolare di 9 lati.

somma_lati_diag2.png (49.35 KiB) Visto 43664 volte

L'espressione si potrebbe semplificare così?
$\displaystyle n \cdot d \cdot \frac{\sin{\left( \frac{a (n-1)}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}$

[Maurizio59]

...
L'espressione si potrebbe semplificare così?
$\displaystyle n \cdot d \cdot \frac{\sin{\left( \frac{a (n-1)}{2}\right) }}{2 \sin{\left( \frac{a}{2}\right) }}$

Sì.
Ora si devono eliminare le troppe variabili trovando la somma solo in funzione di n.

[Gianfranco]

Ora si devono eliminare le troppe variabili trovando la somma solo in funzione di n.

All'inizio avevo specificato che:
1) \alpha dipende da n
2) d dipende da n e \alpha, nell'ipotesi che il lato del poligono sia unitario

Quindi basta qualche sostituzione di variabili.
Sono un po' pigro, perciò rimango in attesa della risposta, pieno di gratitudine.
---
Però non sono pigro nel fare i disegni perciò ho preso una biro e ho disegnato il poligono di 100 lati con tutte le diagonali. E' venuto fuori un foglio praticamente nero.
Allora ho provato a usare 5 colori, tra cui il bianco, per risparmiare righe.
E' venuta fuori questa figura.
Ci potete trovare: Juventus, Milan, Inter, Napoli, Bologna, Catania, Genoa, Sampdoria, Siena, Udinese, Cagliari, e chissà cos'altro.

100latidiag.PNG (118.12 KiB) Visto 43654 volte

Se il poligono avesse meno lati, potremmo ottenere cose carine come questa, con 32 lati e tutte le diagonali mono-colore.

32latidiag.PNG (66.62 KiB) Visto 43654 volte

[panurgo]

Osservo che, se $n$ è pari allora

DisPolReg.02.1.480x480.png (24.12 KiB) Visto 43649 volte

dove $r$ sta per segmento rosso e $b$ per segmento blu: nei termini di Gianfranco

$\displaystyle d=\frac1{\sin\alpha}$

Viceversa, se $n$ è dispari,

DisPolReg.02.2.480x480.png (27.86 KiB) Visto 43649 volte

dove $r$ sta per segmento rosso, $b$ sta per segmento verde e $b$ per segmento blu: nei termini di Gianfranco

$\displaystyle d=\frac1{\sin\alpha}$



Quindi

$\displaystyle d=\frac1{\sin\alpha}$

[Maurizio59]

Tiriamo...le somme.
La somma di tutti i lati e le diagonali di un poligono regolare di n lati di lunghezza 1 è data dalla formula:
$$S=\frac{n}{2(1-\cos(\frac{\pi}{n}))}$$
Non è possibile ricavare algebricamente il numero n dei lati del poligono da questa formula e per trovare numericamente n si deve utilizzare un computer.
Esso, per S = 100000, ci fornisce il valore n = 99,56069...
Per evitare questo possiamo osservare che, nel problema proposto, n è molto grande per cui l'angolo $\frac{\pi}n$ risulta molto piccolo.
Sotto queste condizioni si può sfruttare l'approssimazione $cos\theta=1-\frac{\theta^2}2$ ottenendo la formula approssimata:
$$S=\frac{n^3}{\pi^2}$$
e da questa si ricava facilmente la semplice formula:
$$n=\sqrt[3]{\pi^2S}$$
Per S = 100000 si ottiene n = 99,56344... che fornisce una ottima approssimazione del valore corretto.
Concludendo possiamo disegnare un poligono regolare che ha al massimo 99 lati.