Cambia un pixel

[Gianfranco]

Cari amici, vi propongo altri 3 problemini estivi tratti dai social.
Non li conoscevo e la prima volta che li ho visti mi hanno sorpreso un po'.
Ciascuna delle figure seguenti mostra lo schermo di una vecchia calcolatrice.
Ogni quadretto rappresenta un pixel, che può avere solo due stati: acceso (verde) o spento (grigio).
"Cambiare lo stato di un pixel" significa cambiare il suo colore cioè accenderlo se è spento oppure spegnerlo se è acceso.

Esercizio 1.
Cambia lo stato di un pixel per rendere vera l'espressione.

Esercizio 2.
Cambia lo stato di un pixel per rendere vera l'espressione.

Esercizio 3.
Cambia lo stato di due pixel per rendere vera l'espressione.

cambia_pixel.png (52.47 KiB) Visto 16087 volte

Conoscete altri problemi come questi?

[newdelfo]

prima cosa da fare, è cercare i pixel capaci di portare ad un nuovo significato.
ad un primo sguardo, vedo il segno "1" in cui, cancellando il secondo pixel dal basso, ottengo !; cosa peraltro poco utile, perchè sempre 1 fa.
Altro simbolo cangiabile è l'otto piccolino, messo come esponente nella seconda espressione; togliendo uno dei pixel al centro, diventa un 3; e Bingo !

[Maurizio59]

L'idea del fattoriale è buona e risolve l'esercizio 1:
$(71+1)*(71-1)= 72*70 = 5040 = 7! $
Nel secondo esercizio la modifica dell'esponente non risolve nulla:
$(1+1)^3=2^3 =8 $
Ho una domanda. Le espressioni sono tutte in base 10?

[Gianfranco]

prima cosa da fare, è cercare i pixel capaci di portare ad un nuovo significato.
ad un primo sguardo, vedo il segno "1" in cui, cancellando il secondo pixel dal basso, ottengo !; cosa peraltro poco utile, perchè sempre 1 fa.
Altro simbolo cangiabile è l'otto piccolino, messo come esponente nella seconda espressione; togliendo uno dei pixel al centro, diventa un 3; e Bingo !

Nella n.1, un fattoriale è utile a risolvere il problema, come ha mostrato Maurizio.

Nella n.2, se cambiamo l'esponente 8 in 3 otteniamo:
$2^3=2\cdot 8$
che purtroppo non è corretta.
Oppure avevi in mente qualcos'altro?
Comunque funziona nel caso seguente.

cambia_pixel3.png (14.19 KiB) Visto 16068 volte

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L'idea del fattoriale è buona e risolve l'esercizio 1:
$(71+1)*(71-1)= 72*70 = 5040 = 7! $
Nel secondo esercizio la modifica dell'esponente non risolve nulla:
$(1+1)^3=2^3 =8 $
Ho una domanda. Le espressioni sono tutte in base 10?

N. 1 Esatto.
I numeri sono tutti in base 10. Comunque i problemi sono aperti a qualunque soluzione valida e interessante!
Per l'esercizio 3 ci sono soluzioni con qualche trucco ma c'è anche una soluzione assolutamente onesta e sorprendente...

[Quelo]

La seconda è così

$\displaystyle (1+i)^8=16$

cambia_pixel_2.png (18.86 KiB) Visto 16022 volte

E la terza è uguale

$\displaystyle (10+i) \cdot (10-i) = 101$

cambia_pixel_3.png (11.28 KiB) Visto 16020 volte

[Quelo]

Eccone uno inventato da me

CAMBIA LO STATO DI 1 PIXEL

cambia_pixel_pi.png (2.73 KiB) Visto 16013 volte

[Gianfranco]

Potrebbe essere questa?
Il pixel modificato è quello giallo.

soluz1_Quelo.png (2.74 KiB) Visto 15988 volte

Bello!
Finora abbiamo quattro tipi di esercizi con quattro tipi di semantiche diverse.
1) (1 -> !): un numero si trasforma in un simbolo di operatore;
2) (1 -> i): un numero si trasforma in un altro numero appartenente a un insieme diverso da quello minimo a cui appartengono i numeri già presenti, da N a C.
3) (8 -> 3): un numero si trasforma in un altro numero appartenente allo stesso insieme a cui appartengono i numeri già presenti.
4) (, -> ;): un simbolo strettamente matematico si trasforma in un simbolo metamatematico.

[Gianfranco]

La seconda è così
$\displaystyle (1+i)^8=16$

E la terza è uguale
$\displaystyle (10+i) \cdot (10-i) = 101$

Ah, ho dimenticato di scrivere che le soluzioni che hai proposto sono ottime!
In particolare mi ha sorpreso il primo problema. Nell'espansione della potenza compaiono esponenti dispari di i ma alla fine si eliminano e il risultato è un numero intero positivo.
$\displaystyle (1+i)^8={{i}^{8}}+8 {{i}^{7}}+28 {{i}^{6}}+56 {{i}^{5}}+70 {{i}^{4}}+56 {{i}^{3}}+28 {{i}^{2}}+8 i+1$

Questo si verifica per tutte le potenze di questo tipo con esponenti multipli di 8:
$\displaystyle (1+i)^{8k}=16^k$

Invece, con i multipli dispari di 4:
$\displaystyle (1+i)^{8k-4}=-4^{2k+1}$

Salvo erori & omisioni

[Quelo]

Esatto Gianfranco, con il punto e virgola diventano due disequazioni distinte

Per la seconda si può notare che:

$\displaystyle (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$

$\displaystyle (2i)^2 = -4$

$\displaystyle (-4)^2 = 16$

Eccone un altro facile ma con due possibili soluzioni

CAMBIA LO STATO DI 2 PIXEL

cambia_pixel_fi.png (1.67 KiB) Visto 15976 volte

[Gianfranco]

Attenzione!
Ho messo le mie risposte invisibili (stesso colore dello sfondo) qui sotto per chi non vuole vederle.
Per vederle, basta selezionare il testo nascosto col mouse o altro sistema.

Inizio -----------------
1) far diventare -1 l'esponente del secondo phi;
2) trasformare il segno "meno" in un "diviso" (obelus);
3) trasformare il primo esponente "1" in un "2" (un po' forzato con due soli pixel in più)
Fine -----------------

[Quelo]

Mi piace la terza soluzione, così diventa praticabile

CAMBIA LO STATO DI 2 PIXEL

cambia_pixel_fi.png (1.71 KiB) Visto 15943 volte

[Bruno]

Tutto molto carino, anche i quiz di Sergio