Piena al punto giusto!

[franco]

Ciao a tutti.

Ho fatto qualche giorno di vacanza e sono tornato a lavoro.
Purtroppo la "pacchia" è finita (non solo le ferie, lavorare ad agosto sotto certi punti di vista non è male) ed ora mi ritrovo veramente poco tempo per le ricreazioni.
Però mi è capitato, proprio al lavoro, un problemino di matematica che penso possa essere interessante.

Nella fabbrica dove lavoro produciamo dei contenitori pieni di un gradevole liquido ambrato (vabbè, diciamolo, è una fabbrica di birra!).
La macchina di riempimento non è certo perfetta per cui il volume contenuto nei recipienti è distribuito secondo una gaussiana con un determinato valore medio M ed una deviazione standard D.
Successivamente c'è un'altro macchinario (con una precisione tale da poterlo considerare perfetto) che scarta tutti i recipienti con contenuto inferiore al minimo legale L.

Naturalmente tutto il liquido venduto oltre il minimo legale è considerato dall'azienza una perdita, ma del resto è una perdita anche il liquido contenuto nei recipienti scartati.

Sapendo che l'unico elemento sul quale posso intervenire è il riempimento medio M, a quale valore lo devo regolare (in funzione di D e L) per minimizzare la perdita totale?

ciao

(se risultasse troppo semplice potremmo poi tenere conto del costo del liquido e di quello del contenitore)

[delfo52]

molto carino il problema, ma....
le variabili sono, diciamo così, intrecciate.
nel senso che è importante sapere, più che il valore assoluto della Deviazione standard, il suo rapporto con la Misura media.
Infatti, mentre i recipienti "troppo pieni" fanno perdere all'azienda il "di più", quelli troppo vuoti provocano la perdita di una intera dose (scarsa!)
A meno che la birra "scarsa" non possa venire riutilizzata (il mio consiglio è di venderla a prezzo irrisorio ai dipendenti e ai loro amici di B5), ci si trova in una situazione del tipo:
Bottiglie da un litro; dose ufficiale "minima legale" 92 cl; caricamento medio 93 +o- 2;
Le bottiglie con 93, 94 o più provocheranno lo spreco di 1,2 o 3 cl
una sola bottiglia "troppo scarsa" da 91 comporta la perdita corrispondente ad una cinquantina di bottiglie appena abbondanti...
Le cose cambiano se la bottiglia è da 25cl; a parità di Deviazione, lo spreco delle bottiglie troppo poco piene è meno "grave"
Al contrario, se parliamo di mega-contenitori, il rischio di dover buttare via una "tonnellata" di roba, indurrebbe a stare "alti" con la dose M.
A puro titolo "oculorinologico" (che significa "ad occhio" e "a naso") opterei per un valore M tale che il valore L corrisponda a -1DS per recipienti piccoli, -2DS per recipienti medi, -4DS per recipienti grandi, -10DS per recipienti enormi.
"ma come classifichi la misura dei recipienti?"
"Questo è un vostro problema! devo pensare a tutto io ?"

[Gianfranco]

Il problema mi piace, perciò scrivo le mie cosiderazioni anche se non rispondono esattamente alla domanda.

Purtroppo non ho molto tempo per infilarmi nel calcolo integrale perciò ho adoperato la cosiddetta "regola dei 3 sigma".

Se M è la media e D lo scarto quadratico medio (è la deviazione standard?) in una distribuzione normale allora:

nel 68,3% dei casi, la variabile casuale è compresa fra M-D e M+D
nel 95,4% dei casi, la variabile casuale è compresa fra M-2D e M+2D
nel 99,7% dei casi, la variabile casuale è compresa fra M-3D e M+3D

Come si vede, è "quasi certo" che la variabile casuale (nel nostro caso la quantità di birra versata in ogni bottiglia) non devierà da M per più di 3D. Perciò il valore 10D ipotizzato da Enrico mi sembra troppo elevato in ogni caso. Inoltre, in questo modo, c'è il rischio che la birra trabocchi spesso dal recipiente.

Supponiamo di riempire 1000 bottiglie da 1 litro.
Sia L litri il contenuto minimo legale
Sia M litri la media a cui è impostata la macchina che riempie le bottiglie
Sia D lo scarto quadratico medio caratteristico della macchina

Se riempio 1000 bottiglie, mi aspetto di consumare 1000 M litri di birra, mentre, dal punto di vista legale ne sarebbero bastati 1000 L litri.

Facendo alcuni calcoli, ho ottenuto i seguenti risultati:

Caso 1: pongo M = L + D
Spreco in litri = 160 L + 1000 D

Caso 2: pongo M = L + 2D
Spreco in litri = 23 L + 2000 D

Caso 3: pongo M = L + 3D
Spreco in litri = 1,5 L + 3000 D

Per stabilire qual è la migliore scelta, dovrei sapere M, L e D.
Franco, ce li potresti dire?


Gianfranco

[panurgo]

Birra!

Dobbiamo versare un volume $V$ di birra in una bottiglia di capacità $B$ con una macchina che lo fa con un'incertezza $D$: la bottiglia di birra non passa il QC se la macchina ha versato una quantità $m \/ \/ B$ (la bottiglia si è sporcata e non può essere messa in vendita).
Dato che l'azienda è obbligata per legge a vendere una quantità $L$ quando dichiara una quantità $V$, la politica aziendale è di considerare un costo la quantità di birra in eccesso rispetto a $L$.
La loss function è quindi

$f \/ = \/ \left \{ {\begin{array}{ll} m & {0 \/ \/ Q} \\ {\frac A {\sqrt {2\pi} D} \exp \left \{ - \frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right)^{\script 2} \right \}\qquad } & {0 \/ < \/ m \/ < \/ Q} \\ \end{array} \right .$

dove $A$ è una costante di normalizzazione data da

$A^{\script -1} \/ = \/ \int_{\script 0}^{\script Q}{} \/ = \/ \Phi_{\script M, D} \left ( Q \right ) \/ - \/ \Phi_{\script M, D} \left ( 0 \right ) \/ \approx \/ 1$

dove $\Phi_{\script M, D}$ è la distribuzione gaussiana cumulativa di media $M$ e scarto tipo $D$ e ho considerato che una macchina che sbagliasse al punto da non mettere neanche un po' di birra avrebbe vita breve e che, sicuramente, $Q$ è talmente più grande di $B$ da poter essere considerato infinito.
Il valore atteso di $f$ vale

$\left \langle f \right \rangle \/ = \/ \int_{\script - \infty}^{\script \infty} {dm \/ f \/ p \left ( m \/ \middle | \/ M \/ D \/ I \right ) } \/ = \/ \int_{\script 0}^{\script L} {dm \/ m \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ + \/ \\ \qquad + \/ \int_{\script L}^{\script B} {dm \/ \left ( m \/ - \/ L \right ) \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ + \/ \int_{\script B}^{\script Q} {dm \/ m \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }}$

cioè

$\left \langle f \right \rangle \/ = \/ \int_{\script 0}^{\script Q} {dm \/ m \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ + \/ L \/ \int_{\script L}^{\script B} {dm \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }}$

per le stesse considerazioni di prima il primo integrale può essere approssimato a

$\int_{\script 0}^{\script Q} {dm \/ m \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ \approx \/ \int_{\script -\infty}^{\script \infty} {dm \/ m \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ = \/ M$

Il secondo integrale non ha una forma chiusa ma è possibile averne l'approssimazione

$\int_{\script L}^{\script B} {dm \/ \frac 1 {\sqrt {2\pi} D} \exp {\left \{ -\frac 12 \left ( \frac {m - M} D \right )^{\script 2} \right \} }} \/ = \/ \Phi_{\script M, D} \left ( B \right ) \/ - \/ \Phi_{\script M, D} \left ( L \right )$

Il valore atteso vale dunque

$\left \langle f \right \rangle \/ = \/ M \/ - \/ L \left \[ \Phi_{\script M, D} \left ( B \right ) \/ - \/ \Phi_{\script M, D} \left ( L \right ) \right \]$

Ecco un grafico per vari valori di $D$



Per questo grafico ho posto $V \/ = \/ 2/3$, $L \/ = \/ 0,95V$ e $B \/ = \/ 1,1V$.
Se fosse possibile avere una macchina con $D \/ = \/ 0$ si potrebbero azzerare le perdite impostando $M \/ = \/ L$: il grafico suggerisce, comunque, di impostare un valore $M$ inferiore al valore dichiarato $V$ (sempre al servizio del cliente!)

[franco]

Wow Panurgo!

grazie mille!

Giusto per dare qualche informazione aggiuntiva, voglio specificare che non si tratta di un problema "vero" ma di una cosa che mi è venuto in mente parlando con dei colleghi a proposito di riduzione perdite.
In realtà, i consumatori possono stare tranquilli, il valore medio è sempre uguale (o al limite appena maggiore) al nominale indicato in etichetta e non al limite inferiore legale.
Questo non perchè l'industria ami far beneficenza ma perchè la legge prevede, oltre ad un contenuto minimo sul contenitore singolo, che la media dei contenuti in una confezione (la scatola da 15-24 bottiglie) sia pari almeno al contenuto nominale.

E' interssante anche il ragionamento che hai fatto circa le bottiglie scartate per riempimento eccessivo. E' proprio così: se una bottiglia venisse riempita troppo rischierebbe di scoppiare (o di far saltare il tappo) durante la pastorizzazione e pertanto c'è un controllo di "alto livello" dopo la riempitrice; il controllo di "basso livello" è invece effettuato dopo l'etichettatura (con lo stesso macchinario si verifica anche la presenza delle etichette, la corretta tappatura e varie altre amenità).

ciao

P.S. Se qualche amico di B5 si trovasse di passaggio in provincia di Taranto è il benvenuto per una birra fresca di cantina!