Per $\, n \,$ naturale, i numeri generati dalla formula:
$\displaystyle \frac{232}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
sono sempre palindromi?
Dimostrarlo.
Palindromi?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Palindromi?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
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{Rudi Mathematici}
-
Gianfranco
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1720
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Palindromi?
OK, vediamo.
Ecco alcune considerazioni ottenute moltiplicando i fattori uno dopo l'altro e osservando i risultati.
Forse può servire come traccia di dimostrazione o forse ce n'è una molto più semplice.
I numeri del tipo $\displaystyle (10^n-1)\cdot (10^{n+1}+1)$
sono:
909
99099
9990999
999909999
99999099999
9999990999999
...
tutti palindromi.
---
Se li dividiamo per 9
$\displaystyle \frac{1}{9} \cdot (10^n-1)\cdot (10^{n+1}+1)$
otteniamo:
101
11011
1110111
111101111
11111011111
1111110111111
...
tutti palindromi.
---
Ora consideriamo i numeri del tipo $\displaystyle (10^n-1)$
che sono:
11
101
1001
10001
100001
1000001
...
tutti palindromi.
---
Se moltiplichiamo per i numeri precedenti
$\displaystyle \frac{1}{9} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
otteniamo:
1111
1112111
1111221111
1111122211111
1111112222111111
1111111222221111111
...
tutti palindromi.
---
Fin qui le cose filano abbastanza lisce ma ora viene il difficile.
Ora dividiamo per 11
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
ottenendo:
101
101101
101020101
101011110101
101010202010101
101010111111010101
...
tutti palindromi, ma questo è più difficile da dimostrare.
---
Ora consideriamo i risultati di indice pari, cioè:
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$, con n pari.
101101
101011110101
101010111111010101
101010101111111101010101
101010101011111111110101010101
...
tutti palindromi.
---
Moltiplichiamoli per 232
$\displaystyle \frac{232}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
Si può dimostrare, usando l'algoritmo classico della moltiplicazione che i risultati sono tutti palindromi.
23455432
23434577543432
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23434343457777775434343432
23434343434577777777543434343432
...
tutti palindromi.
---
Ora consideriamo i risultati di indice dispari, cioè:
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$, con n dispari
101
101020101
101010202010101
101010102020201010101
101010101020202020101010101
...
tutti palindromi.
---
Moltiplichiamoli per 232
$\displaystyle \frac{232}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
Beh, questo è da analizzare bene.
23432
23436663432
23434366866343432
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tutti palindromi?
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Ecco alcune considerazioni ottenute moltiplicando i fattori uno dopo l'altro e osservando i risultati.
Forse può servire come traccia di dimostrazione o forse ce n'è una molto più semplice.
I numeri del tipo $\displaystyle (10^n-1)\cdot (10^{n+1}+1)$
sono:
909
99099
9990999
999909999
99999099999
9999990999999
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tutti palindromi.
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Se li dividiamo per 9
$\displaystyle \frac{1}{9} \cdot (10^n-1)\cdot (10^{n+1}+1)$
otteniamo:
101
11011
1110111
111101111
11111011111
1111110111111
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tutti palindromi.
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Ora consideriamo i numeri del tipo $\displaystyle (10^n-1)$
che sono:
11
101
1001
10001
100001
1000001
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tutti palindromi.
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Se moltiplichiamo per i numeri precedenti
$\displaystyle \frac{1}{9} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
otteniamo:
1111
1112111
1111221111
1111122211111
1111112222111111
1111111222221111111
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tutti palindromi.
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Fin qui le cose filano abbastanza lisce ma ora viene il difficile.
Ora dividiamo per 11
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
ottenendo:
101
101101
101020101
101011110101
101010202010101
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tutti palindromi, ma questo è più difficile da dimostrare.
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Ora consideriamo i risultati di indice pari, cioè:
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$, con n pari.
101101
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tutti palindromi.
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Moltiplichiamoli per 232
$\displaystyle \frac{232}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
Si può dimostrare, usando l'algoritmo classico della moltiplicazione che i risultati sono tutti palindromi.
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tutti palindromi.
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Ora consideriamo i risultati di indice dispari, cioè:
$\displaystyle \frac{1}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$, con n dispari
101
101020101
101010202010101
101010102020201010101
101010101020202020101010101
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tutti palindromi.
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Moltiplichiamoli per 232
$\displaystyle \frac{232}{99} \cdot (10^n-1)\cdot (10^n+1)\cdot (10^{n+1}+1)$
Beh, questo è da analizzare bene.
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tutti palindromi?
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Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Palindromi?
Molto bene, Gianfranco 
A me, in maniera più brutale, è capitato di ragionare sulle due famiglie di numeri, di cui tu consideri interamente la seconda alla fine, ricavando le formule di ciascuna delle parti costituenti e ricomponendo il tutto per arrivare a un'identità (che ho accertato).
Ti 'fotografo' la traccia.
A me, in maniera più brutale, è capitato di ragionare sulle due famiglie di numeri, di cui tu consideri interamente la seconda alla fine, ricavando le formule di ciascuna delle parti costituenti e ricomponendo il tutto per arrivare a un'identità (che ho accertato).
Ti 'fotografo' la traccia.
- B5 - Palindromi.jpg (56.36 KiB) Visto 7187 volte
(Bruno)
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