Perché ottimi programmi commettono questo errore?

[Gianfranco]

Cari amici,
siete tutti d'accordo che, per qualunque a e qualunque b<>0:

$\Large \frac{((a + b)^2 - (a^2 + 2ab))}{b^2}=1$

?

Ho provato a fare questo calcolo con Maxima e poi con Mathematica online e "escono" i seguenti risultati (errati).
Come lo spiegate?

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[panurgo]

L'introduzione di numeri in formato decimale ($b=1./a$ in figura) invoca l'uso dell'aritmetica approssimata

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La formula proposta è particolarmente soggetta agli errori di arrotondamento: dovrebbe essere

$\left(a+b\right)^2-\left(a^2+2ab\right)=1000002.000001-1000002=0.000001$

ma il risultato invece $0.00000100001$ perché la rappresentazione in virgola mobile non è esatta.

Possiamo aumentare la precisione del calcolo aggiungendo zeri dopo la virgola

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fino a che, con dieci zeri, questa diventa sufficiente a differenziare $0.000001$ da $0.00000100001$

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Lo stesso vale per il secondo errore: con nove zeri

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con dieci zeri

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Inutile dire che se invochiamo l'aritmetica esatta ($b=1/a$) il problema non si pone

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come non si pone per l'algebra simbolica

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[Gianfranco]

Grazie Panurgo!
Sapevo che risolvendo l'espressione letterale in forma simbolica questi programmi danno come risultato 1.
Ma non conoscevo bene il motivo di quegli errori quando eseguono il calcolo in forma numerica con particolari valori delle lettere.
Forse la cosa che mi ha stupito è questa: se un programma "sa potenzialmente" che il risultato di un'espressione (letterale) è sempre 1 (tranne casi estremi), perché dice che fa 0? Non potrebbe invece usare un po' di intelligenza in questi casi?

Ho provato a porre la stessa domanda alla chat di Bing (che forse si basa su chat gpt) e insiste a rispondere che il risultato è 1 senza neppure degnarsi di sostituire le variabili.
Ma forse neppure questo è un comportamento "intelligente".

[Quelo]

Io so che alcuni linguaggi di programmazione (come ad esempio Python) eseguono i calcoli in binario, per cui quando gli si forniscono variabili in base 10, la doppia conversione introduce degli errori.
Questo non accade se ad esempio le varibili sono potenze di 2.

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Potrebbe essere lo stesso anche per altri software?

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