Ettagono e Ottagono

[Gianfranco]

Confermo.
Ho aggiunto al mio programmino la stampa delle aree con la formula di Gauss e ho ottenuto l'area massima = 75.

maxareaottagono.jpg (96.17 KiB) Visto 36337 volte

Il frammento di codice per il calcolo dell'area è questo:

Codice: Seleziona tutto

      !'=================
      !'Calcola l'area con la formula di Gauss
      !'Vale solo se il poligono non è intrecciato
      !'Coordinate c(x,y) da 1 a 8
         LET somma=0
         FOR x=1 TO 7
            LET somma=somma+c(x,1)*c(x+1,2)-c(x+1,1)*c(x,2)
         NEXT x
         LET somma=somma+c(8,1)*c(1,2)-c(1,1)*c(8,2)
         LET areap=ABS(somma/2)
         IF areap>maxarea THEN
            LET maxarea=areap
            LET numpmax=perm
         END IF
         IF areap<minarea THEN
            LET minarea=areap
            LET numpmin=perm
         END IF       
         !'=================

Purtroppo, non funziona per la ricerca dell'area minima perché trova poligoni intrecciati che hanno area 0.
Vedi esempio.

minareaottagono1.jpg (89.27 KiB) Visto 36337 volte

Dovrò adattare il metodo di Gauss oppure escludere i poligoni intrecciati.
A proposito, nel tuo problema i poligoni intrecciati sono ammessi tra le soluzioni?

[Maurizio59]

...
A proposito, nel tuo problema i poligoni intrecciati sono ammessi tra le soluzioni?

Ottimo lavoro Gianfranco.

Io ho escluso i poligoni intrecciati proprio perchè, in alcuni casi, calcolarne l'area non è una cosa banale.

[Maurizio59]

Propongo una variante di questo problema abbastanza impegnativa (sempre come passatempo estivo ).

Sul piano cartesiano è dato un dodecagono non intrecciato di lati 1,2,3,4,5.....12, i cui vertici hanno tutti coordinate intere.
Quali sono l'area minima e l'area massima del dodecagono?
.

[Quelo]

Ho fatto qualche riflessione trascurando i lati obliqui (che nel caso del dodecagono possono essere anche 2, il 5 e il 10)

La somma dei lati è 78, quindi il rettangolo di area massima è 19 x 20 = 380
Con 12 lati sono 3 sezioni per ogni lato del rettangolo, mettiamo i lati lunghi al centro e i lati corti ai vertici e poi rovesciamo i vertici all'interno.
La soluzione migliore sarebbe 1x8+2x7+3x6+4x5=60 ma non riesco a farli collimare, così mi sono accontentato di 61.
Per il dodecagono di area minima ho optato per la forma a serpente con testa larga 2 e coda larga 1
Non è detto che non ci siano soluzioni migliori

Dodecagono.png (23.59 KiB) Visto 7357 volte

[Maurizio59]

Ho fatto qualche riflessione trascurando i lati obliqui (che nel caso del dodecagono possono essere anche 2, il 5 e il 10.
...

Considerazioni giuste. Ma utilizzando i due lati obliqui (5 e 10) i risultati migliorano sensibilmente.

[Quelo]

Intanto sono sceso a 37

Dodecagono2.png (13.08 KiB) Visto 7356 volte

[Maurizio59]

Intanto sono sceso a 37
...

Bene Quelo, 37 è l'area minima.

[Quelo]

Così siamo a 328

Dodecagono3.png (18.4 KiB) Visto 7343 volte

[Quelo]

Ecco un più dignitoso 353

Dodecagono4.png (19.91 KiB) Visto 7341 volte

[Quelo]

Ci avviciniamo alla soluzione

Dodecagono5.png (14.49 KiB) Visto 7266 volte

[Quelo]

Vogliamo farlo anche con 11 lati?
Facciamolo!

Endecagono.png (32.18 KiB) Visto 5527 volte

Curiosamente il rapporto tra area massima e area minima è prossimo a 11 (come per i 12 lati)

[Maurizio59]

Vogliamo farlo anche con 11 lati?
...

Molto bene Quelo.
Per il poligono con 11 lati penso che le tue soluzioni siano le migliori.
Per il dodecagono però l'area massima è 378.