Ettagono e Ottagono

[Maurizio59]

Vi propongo un semplice passatempo estivo.

1) Sul piano cartesiano disegnare un ettagono di lati 1,2,3,4,5,6,7 i cui vertici hanno tutti coordinate intere.
a) Quali sono le coordinate dei vertici del poligono di area massima?
b) Quali sono le coordinate dei vertici del poligono di area minima?

2) E se il poligono è un ottagono di lati 1,2,3,....8 ?

[Gianfranco]

Grazie Maurizio.
Giusto per passatempo, ho chiesto al mio maggiordomo di trovare tutti(?) i poligoni che soddisfano le condizioni, anche quelli intrecciati.
Ci deve essere un lato inclinato e l'unico possibile è quello lungo 5.
Ho cercato di eliminare quelli congruenti per simmetria o rotazione, ma forse si può ancora dimezzare il numero.
Non so quale ha area maggiore ma punto il dito su quello più rotondeggiante a occhio.

areamaxheptotc.png (29.45 KiB) Visto 12361 volte

L'area di quello qui sotto è 48.

areamaxhepthyp.PNG (3.08 KiB) Visto 12361 volte

Salvo errori & omissioni.

[Maurizio59]

...
L'area di quello qui sotto è 48.
...
Salvo errori & omissioni.

Nessun errore od omissione.
Trovare quello di area minima nascosto nel tuo schema non è così semplice.

[Gianfranco]

Sempre a occhio, il più magro potrebbe essere questo?

areaminhepta.PNG.jpg (8.08 KiB) Visto 12352 volte

Area=14

[Maurizio59]

Bene Gianfranco.

Ora si passa all'ottagono che è leggermente più impegnativo.

[Gianfranco]

Ok, si accettano scommesse: dire foglio, riga e colonna oppure riportate una soluzione non presente in questo schema.
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Foglio 1

MaxAreaOctagon1.PNG (91.61 KiB) Visto 12325 volte

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Foglio 2

MaxAreaOctagon2.PNG (96.36 KiB) Visto 12325 volte

[Maurizio59]

Gianfranco, nel tuo schema mancano tutte le soluzioni che comprendono il lato da 5 obliquo rispetto alla griglia.
Le soluzioni perciò non sono comprese nella tua tabella.

[Gianfranco]

Gianfranco, nel tuo schema mancano tutte le soluzioni che comprendono il lato da 5 obliquo rispetto alla griglia.

Giusto.
Devo verificare il test che filtra le soluzioni buone. Avevo previsto anche le soluzioni con il lato da 5 inclinato, ma non sono "uscite". Vedrò.
Comunque nella lista che ho pubblicato potrebbero esserci soluzioni duplicate e mancare soluzioni buone: non ho testato tutti i casi possibili.

[Gianfranco]

Ho corretto il programmino: c'era un "end if" scritto nel posto sbagliato.
Ci sono più soluzioni con un lato obliquo che con tutti i lati orizzontali o verticali.
Qui riporto alcune delle soluzioni con un lato obliquo lungo 5 unità.
Chissà se ci sono le soluzioni cercate: poligono di area massima e poligono di area minima.
Si accettano scommesse.

Foglio 3

MaxAreaOctagon3.PNG (114.43 KiB) Visto 12325 volte

Foglio 4

MaxAreaOctagon4.PNG (114.36 KiB) Visto 12325 volte

Foglio 5

MaxAreaOctagon5.PNG (113.55 KiB) Visto 12325 volte

[Gianfranco]

Dando un'occhiata ai fogli, l'ottagono di area minima potrebbe essere questo? Foglio 4, coordinate (5,7).

MinAreaOctagon5.PNG (3.29 KiB) Visto 12324 volte

Area = 16

Salvo errori & omissioni...

[Maurizio59]

Dando un'occhiata ai fogli, l'ottagono di area minima potrebbe essere questo?
...

Sì Gianfranco, è proprio quello.

[Gianfranco]

Per dare un limite massimo.
La somma degli 8 lati è lunga 36.
Con una linea lunga 36 si può costruire:
a) un cerchio di area 103,1 (il massimo assoluto)
b) un ottagono regolare di area 97,8 (il massimo con 8 lati)
c) un quadrato di area 81 (perché gli angoli sono quasi tutti retti)

Quindi, forse, 81 è un limite invalicabile per l'area del nostro ottagono.

L'area di questo è 68.

MaxAreaOctagon5.PNG (3.64 KiB) Visto 12298 volte

L'area di questo è 71.

MaxAreaOctagon6.PNG (2.57 KiB) Visto 12298 volte

Salvo errori & omissioni.

[Maurizio59]

L'area massima per un ottagono senza il lato obliquo da 5 è 71 come da te trovato.
Utilizzando però il lato obliquo si può fare un po' meglio.

Per quanto riguarda il limite massimo possiamo considerare il pentagono con il lato obliquo da 5.
La sua area massima è 84.

[Gianfranco]

L'area massima per un ottagono senza il lato obliquo da 5 è 71 come da te trovato.
Utilizzando però il lato obliquo si può fare un po' meglio.

Si può fare meglio di 71 oppure meglio di 68?

[Maurizio59]

Io ho trovato un ottagono di area 75.