Quarto quiz, impegnativo.

[Bruno]

Si possono trovare infinite uguaglianze numeriche come queste:

$\sqrt[4]{1+ 116\cdot \sqrt{-210}} = \sqrt{35}+\sqrt{-6}$
$\sqrt[4]{1+ 7880\cdot \sqrt{-60639}} = \sqrt{1189}+\sqrt{-204}$
$\sqrt[4]{1+ 5219916\cdot \sqrt{-184030}} = \sqrt{40391}+\sqrt{-6930}$
$\sqrt[4]{1+ 9093512\cdot \sqrt{-80753867670}} = \sqrt{1372105}+\sqrt{-235416},$

che hanno, infatti, una stessa genesi.
Qual è

[Quelo]

$\displaystyle (\sqrt{a}+\sqrt{-b})^4=a^2-6ab+b^2+4\sqrt{a}\sqrt{-b}(a-b)$

La condizione da rispettare è $\displaystyle a^2-6ab+b^2=1$

Le soluzioni intere sono (con l'aiuto di WolframAlpha)

$\displaystyle b=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}=1,6,35,204,1189$

$\displaystyle a=3b+\sqrt{8b^2+1}=6,35,204,1189,6930$

A001109

[Bruno]

Bravo e bravo soprattutto a Wolfram Alpha

In realtà, il quiz si poteva trattare anche senza il famoso motore computazionale e con un po' di teoria.

Tanto per fare un esempio, si può capire che l'equazione scritta qui:

La condizione da rispettare è $\displaystyle a^2-6ab+b^2=1$

ha certamente soluzioni intere perché può essere 'tradotta' in una forma più familiare, che permette di applicare teoremi abbastanza noti.

Così diventa tutto meno meccanico e magari più istruttivo

[Alessandro B]

Buongiorno,
per trovare le soluzioni intere di
a²−6ab+b²=1

si può fare cosi:

Pongo a=0 e trovo b=1

Prima soluzione: (0,1)

Sostituendo b=1 nell'equazione trovo: a²-6a+1=1, da cui ottengo l'ulteriore soluzione a=6

Seconda soluzione: (1,6)

Sostituendo a=6 nell'equazione trovo: 36-36b+b²=1, da cui ottengo l'ulteriore soluzione b=35

Terza soluzione: (6,35)

E cosi via, per induzione....

[Alessandro B]

Spero di essere stato chiaro su quale sia il mio procedimento per risolverlo.

[Bruno]

Benvenuto, Alessandro

Sì, si capisce la tua idea.