Tre quiz.

[Bruno]

➀
Se $a$ e $b$ sono interi positivi distinti,
$\sqrt{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$
è sempre irrazionale?

➁
Trovare le soluzioni intere dell'equazione
$x^6-23\cdot y^3+24 = 0.$

➂
Quando
$2^n+3^n+5^n$
è divisibile per $19$ ?

[Gianfranco]

Considerazioni sul numero 3

Quando
$2^n+3^n+5^n$
è divisibile per $19$ ?

a) Per $n<19$, il fatto avviene quando $n = 2, 4, 8, 10, 14, 16$.

b) Osserviamo che
$2^{18} \mod 19 = 1$
$3^{18} \mod 19 = 1$
$5^{18} \mod 19 = 1$

c) Dimostriamo che i moduli (o resti) delle divisioni per 2, 3, 5 si ripetono con periodo 18 rispetto all'esponente n.
Per esempio dimostriamolo per $2^n$
$2^n \mod 19 = 2^{n+18} \mod 19$
Infatti:
$\displaystyle \frac{2^{n+18}}{2^n}=2^{18} \mod 19 = 1$
Nota. Questo passaggio va motivato meglio, se è corretto.
---
Stessa procedura per $3^n$ e $5^n$.


d) In conclusione
$2^n+3^n+5^n$ è divisibile per $19$ quando
$n=2+18k$
$n=4+18k$
$n=8+18k$
$n=10+18k$
$n=14+18k$
$n=16+18k$

[Bruno]

Gianfranco, direi benissimo ma potresti, se vuoi, scansare l'ingombrante 18 e ridurre il tutto a modulo 6, così trovi che l'esponente è un numero pari non multiplo di 6 e probabilmente la dimostrazione si semplifica

[Gianfranco]

... potresti, se vuoi, scansare l'ingombrante 18 e ridurre il tutto a modulo 6, così trovi che l'esponente è un numero pari non multiplo di 6 e probabilmente la dimostrazione si semplifica

Grazie, ci provo.
L'ho risolto in fretta, facendo la prima cosa che mi è venuta in mente.
Però avevo notato che le mie soluzioni si possono scrivere anche così:
$n=2+6k$
$n=4+6k$

...se non sbaglio.

[Gianfranco]

Considerazioni sul numero 1

Se $a$ e $b$ sono interi positivi distinti,
$\sqrt{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$
è sempre irrazionale?

Mi sembra troppo facile oppure non l''ho capito.
Basta prendere due numeri interi positivi distinti la cui somma sia un quadrato, elevarli al cubo e metterli sotto le radici cubiche.
Per esempio:
$5+4=9$
$5^3=125$
$4^3=64$
$\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{125}+\sqrt[3]{64}}=\sqrt{9}=3$
Quindi la risposta è no.

Forse ci sono anche altre soluzioni che si possono esprimere con una proprietà più generale...

[Bruno]

...
Però avevo notato che le mie soluzioni si possono scrivere anche così:
$n=2+6k$
$n=4+6k$

...se non sbaglio.

Non sbagli

In altre parole, l'esponente dev'essere pari ma non divisibile per 6.

[Bruno]

...
Mi sembra troppo facile oppure non l''ho capito.
Basta prendere due numeri interi positivi distinti la cui somma sia un quadrato, elevarli al cubo e metterli sotto le radici cubiche.
Per esempio:
$5+4=9$
$5^3=125$
$4^3=64$
$\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{125}+\sqrt[3]{64}}=\sqrt{9}=3$
Quindi la risposta è no.

Capito benissimo
È facilissimo, sì, ma trovo carino che qualsiasi quadrato maggiore di 1 offra una controprova. Per esempio così:
$a = n^6$,
$b = (2\cdot n+1)^3$.

Una curiosità: si possono trovare a e b in modo che non abbiano in comune alcuna cifra ma, insieme, 'menzionino' tutte le dieci cifre almeno una volta?
Questo è un caso:
$\sqrt{\sqrt[3]{884736}+\sqrt[3]{110592}}$.
Quanti ne esistono, magari anche con un diverso numero di cifre?

[Gianfranco]

Scuxa Bruno, non ho capito in che senso la seguente è una controprova.

È facilissimo, sì, ma trovo carino che qualsiasi quadrato maggiore di 1 offra una controprova. Per esempio così:
$a = n^6$,
$b = (2\cdot n+1)^3$.

[Bruno]

... non ho capito in che senso la seguente è una controprova.

È facilissimo, sì, ma trovo carino che qualsiasi quadrato maggiore di 1 offra una controprova. Per esempio così:
$a = n^6$,
$b = (2\cdot n+1)^3$.

Intendevo rispetto alla richiesta del quiz: con quelle forme, a e b portano sempre l'espressione a un valore non irrazionale.
In realtà, avrei dovuto dire che ogni intero fornisce una controprova:
5 = 4+1,
a = 4⁶ = 4096,
b = (2∙4+1)³ = 9³ =729,
$\sqrt{\sqrt[3]{4096}+\sqrt[3]{729}} = \sqrt{16+9} =\sqrt{4^2+2\cdot 4+1} = \sqrt{(4+1)^2} = 5$.

Perdonami l'ovvietà
(Ho trovato questo quiz nel profilo fb di un giovane matematico.)

[Quelo]

➁
Trovare le soluzioni intere dell'equazione
$x^6-23\cdot y^3+24 = 0.$

$\displaystyle x^6+1=23y^3-23$

$\displaystyle \frac{x^6+1}{23}=y^3-1$

$\displaystyle x^6+1 \equiv 0 \pmod{23}$
$\displaystyle x^6 \equiv -1 \pmod{23}$
$\displaystyle x^6 \equiv 22 \pmod{23}$

Provo tutti i valori tra 0 e 22 (poi i resti si ripetono) e vedo che non esce mai 22
$\displaystyle x^6+1$ non è multiplo di 23, l'equazione non ha soluzioni intere

SE&O

[Bruno]

Ottimo, Sergio
Naturalmente, basta valutare la congruenza x² ≡ 22 (mod 23).

[Quelo]

Per curiosità ho sottoposto il quesito due intelligenze artificiali ed entrambe hanno trovato soluzioni

ChatGPT

Domanda: risolvi x^6+1 congruente a zero modulo 23

Risposta:
Per risolvere l'equazione x^6 + 1 ≡ 0 (mod 23), possiamo utilizzare il fatto che 23 è un numero primo. Poiché 23 è primo, il campo degli interi modulo 23 forma un campo di Galois finito, il che significa che ogni elemento diverso da zero ha un'inversa moltiplicativa.

Innanzitutto, notiamo che 1 non è una soluzione dell'equazione, poiché 1^6 + 1 = 2 non è congruente a zero modulo 23. Inoltre, poiché 23 è un numero primo dispari, possiamo utilizzare il fatto che se x è una soluzione dell'equazione, allora anche -x lo è. Quindi, senza perdita di generalità, possiamo assumere che la soluzione sia positiva, cioè x > 0.

Ora, eleviamo entrambi i lati dell'equazione alla potenza (23-1)/6 = 4, che è un intero positivo minore di 23 e tale che (x^6)^4 = x^24 ≡ 1 (mod 23) per ogni x non divisibile per 23 (questo è noto come il piccolo teorema di Fermat). Quindi:

x^6 ≡ -1 (mod 23)
(x^6)^4 ≡ (-1)^4 (mod 23)
x^24 ≡ 1 (mod 23)

Quindi, le soluzioni dell'equazione originale sono le radici seste dell'unità in modulo 23, escludendo 1 come abbiamo già stabilito. Ci sono sei radici seste dell'unità, che sono date da:

x ≡ 2, 4, 8, 16, 9, 18 (mod 23)

perché queste sono le radici seste dell'unità in modulo 23 diverse da 1. Quindi, le soluzioni dell'equazione originale sono:

x ≡ 2, 4, 8, 16, 9, 18 (mod 23)

Bing

Domanda: Risolvi x^6 congruente a 22 modulo 23

Risposta:
Ciao, questo è Bing. Posso aiutarti a risolvere l'equazione x^6 congruente a 22 modulo 23. Per fare questo, dobbiamo trovare il resto r quando dividiamo x^6 per 23. In altre parole, dobbiamo trovare x^6 mod 23 = r.

Per trovare r, possiamo usare il fatto che se due numeri a e b sono congruenti modulo n, allora hanno lo stesso resto quando sono divisi per n. Quindi, possiamo scrivere:

a ≡ b (mod n) ⇔ a mod n = b mod n = r

In questo caso, n = 23 e b = 22. Quindi, dobbiamo trovare un numero x tale che:

x^6 ≡ 22 (mod 23) ⇔ x^6 mod 23 = 22 mod 23 = 22

Ci sono diversi metodi per risolvere questo tipo di equazioni, ma uno dei più semplici è quello di provare tutti i possibili valori di x da 0 a 22 e vedere quali soddisfano l'equazione. Questo metodo si chiama forza bruta.

Se proviamo tutti i valori di x da 0 a 22, troviamo che ci sono due soluzioni:

x = 3 e x = 20

Infatti:

3^6 mod 23 = (729 mod 23) mod 23 = (4 mod 23) mod 23 = 4 mod 23 = 22

20^6 mod 23 = (64,000,000 mod 23) mod 23 = (8 mod 23) mod 23 = 8 mod 23 = 22

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono x = 3 e x = 20.

Curioso, vero?

Per dovere di cronaca bisogna dire che il buon vecchio WolframAlpha non ha trovato soluzioni intere

[Bruno]

Pazzesco. ChatGPT (che non conosco) potrebbe riscrivere la Teoria dei Numeri


Il secondo quesito può essere trattato anche con un famoso teorema:
Se un dato numero è uguale alla somma di due quadrati coprimi, allora anche ogni divisore primo di quel numero è esprimibile come somma di due quadrati.

È tuttavia noto (e facile da dimostrare) che i primi del tipo 4·k-1 non sono esprimibili come somma di due quadrati

[Bruno]

Bing a seconda del momento.

Domanda: Risolvi x^6 congruente a 22 modulo 23

Risposta.
Per risolvere la congruenza x^6 ≡ 22 (mod 23), dobbiamo prima trovare una soluzione della congruenza
x^2 ≡ 22 (mod 23),
usando il criterio di Eulero.
Poiché 23 è un numero primo, possiamo applicare il piccolo teorema di Fermat e scrivere
x^22 ≡ x (mod 23).
Quindi, se
x^2 ≡ 22 (mod 23),
allora
x^22 ≡ 22 (mod 23)
e quindi
x ≡ 22^11 (mod 23).
Usando il metodo delle divisioni successive, possiamo calcolare che
22^11 ≡ 13 (mod 23).
Quindi, una soluzione della congruenza x^2 ≡ 22 (mod 23) è x = 13.
L'altra soluzione si ottiene cambiando il segno di x, cioè
x = -13 ≡ 10 (mod 23).
Ora che abbiamo trovato le soluzioni della congruenza
x^2 ≡ 22 (mod 23),
possiamo cercare le soluzioni della congruenza
x^6 ≡ 22 (mod 23)
elevando al cubo entrambi i membri.
Otteniamo così (x^2)^3 ≡ 22^3 (mod 23), che equivale a x^6 ≡ 12 (mod 23).
Quindi, le soluzioni della congruenza x^6 ≡ 22 (mod 23)
sono le stesse soluzioni della congruenza x^6 ≡ 12 (mod 23).
Per trovarle, dobbiamo risolvere la congruenza x^3 ≡ ±√12 (mod 23), …

E compagnia cantando.