Triangoli più o meno banali

[franco]

E' ben noto che in tutti i triangoli le tre altezze, le tre mediane e le tre bisettrici sono concorrenti (rispettivamente nell'ortocentro, baricentro e incentro).

Antine annuncia fieramente a Josto: « Ho disegnato un triangolo ABC non equilatero nel quale la mediana partente da A, l'altezza partente da B e la bisettrice partente da C sono concorrenti ».
« Niente di più banale - gli risponde Josto - ne esistono un'infinità che si possono costruire con riga e compasso ».
« Certo - ribatte Antine - ma il mio è l'unico ad avere queste caratteristiche:
1) le lunghezze dei lati, in centimetri, sono numeri interi,
2) la lunghezza del lato opposto al vertice C è un numero primo,
3) ho disegnato il triangolo su un foglio formato A4 ».

Domanda1
Giustificare la risposta di Josto e dare un esempio di costruzione di un triangolo con queste caratteristiche utilizzando riga e compasso.

Domanda 2
Trovare le dimensioni del triangolo non banale diregnato da Antine.

N.B. Le dimensioni del formato A4 sono di 21,0 cm x 29,7 cm

P.S.
Ho editato la domanda 1 togliendo l'ultima parte "a partire da due segmenti che rappresentano due lati"
La frase, che derivava dalla traduzione letterale del testo, mi sembra di interpretazione un po' difficile:
Se disegno due lati di un triengole, il terzo è determinato ...


Il est bien connu que dans tout triangle les trois hauteurs issues des sommets ainsi que les trois médianes et les trois bissectrices sont concourantes.
Puce annonce fièrement à Zig : « J’ai dessiné un triangle ABC non équilatéral dans lequel la médiane issue de A, la hauteur issue de B et la bissectrice issue de C sont concourantes ».
« Rien de plus banal, lui répond Zig, il en existe une infinité qui sont constructibles à la règle et au compas ».
« Certes, lui rétorque Puce, mais le mien est unique avec les caractéristiques suivantes :
1) les longueurs de ses côtés s’expriment exactement en nombres entiers de centimètres,
2) la longueur du côté opposé au sommet C est un nombre premier,
2) j’ai dessiné le triangle sur une feuille de format A4.
Q1 Justifiez le commentaire de Zig et donnez un exemple de construction d’un triangle ayant la propriété annoncée par Puce à partir de deux segments représentant deux des côtés du triangle.
Q2 Trouvez les dimensions du triangle peu banal dessiné par Puce.

www.diophante.fr
D1737

ciao

[franco]

Domanda 1.
Io ho fatto questa costruzione:
1. Disegno il lato $AC$ e la semiretta $a$ che parte dal vertice $C$:

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2. Costruisco la bisettrice $b$ a partire da $C$:

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3. Dal vertice $A$ costruisco la perpendicolare $h$ alla semiretta $a$:

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4. Ricavo il punto medio del segmento $AC$ e lo congiungo con l'intersezione fra $b$ e $h$:

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5. L'intersezione fra $a$ e $m$ definisce il vertice $B$ del triangolo cercato:

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ciao

edit:
in realtà, per essere aderente al testo, le lettere sui vertici A e B del triangolo andrebbero scambiate, ma la sostanza è quella ...

[Quelo]

Domanda 2
la soluzione è 12,15,13
Dopo vi spiego come ci sono arrivato

[Quelo]

Sono partito dalla domanda 1 originale, cioè dove si chiedeva di tracciare il triangolo a partire da due lati.
In effetti è possibile, dati due lati, ricavare l'angolo che genera il triangolo con le proprietà richieste, anche se non saprei come farlo con riga e compasso.
Questo angolo è unico, quindi è possibile avendo due lati calcolare il terzo.

Se prendiamo ad esempio i lati $a$ e $b$, quelli che convergono in $C$, l'angolo compreso $\gamma$ rispetta questa relazione

$\displaystyle \tan{\frac{\gamma}{2}}=\sqrt{\frac{a}{a+2b}}$

Per cui il terzo lato si ricava come

$\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}=a^2+b^2-2\frac{ab^2}{a+b}$

L'unica soluzione compatibile con il problema è (12,15,13)

Ci sono arrivato notando che l'angolo $\gamma$ seguiva uno schema, ma algebricamente non sono ancora riuscito a ricavarlo

[franco]

Interessante ...
Io per fare la costruzione sono partito da un lato e un angolo adiacente a caso.
Tu dalle lunghezze di due lati.
Magari mettendo tutto assieme se ne ricava qualcosa di buono!

Altrimenti aspettiamo aprile e guardiamo che rispondono gli amici francesi