Equazioni diofantee

[giobimbo]

Siano a, b, c, d elementi tutti diversi dell’insieme E = {1, 2, …, n} con c=(a+b). Dell’equazione diofantea lineare
ax + by + cz = d
conosciamo una soluzione a valori interi (x1, y1, z1), cioè ax1 + by1 + cz1 = d.

Problema 1. Trovare un metodo semplice che, usando solo somme e sottrazioni, partendo da tale soluzione dia tutte le altre.

Problema 2. Fare un esempio pratico con l’equazione 2x + 7y + 9x = 100 di cui conosciamo la soluzione (16, 2, 6).

[Bruno]

Problema 2. Fare un esempio pratico con l’equazione 2x + 7y + 9x = 100 di cui conosciamo la soluzione (16, 2, 6).

Be', questa si risolve magnificamente anche ponendo in 2·x + 7·y + 9·z = 100, per esempio:
z = u - v,
y = u + v.
Da cui si ottiene subito:
x = -8·u + v + 50.
Senza conoscere la soluzione particolare, (x, u, v) = (16, 4, -2).

[giobimbo]

Bene Bruno, hai esposto il tuo metodo (Problema 1), adesso mettilo alla prova (Problema 2) trovandomi tutte le soluzioni dell'equazione
2x + 7y + 9z

Tutte le soluzioni appartenenti all'insieme E oppure anche quelle che comprendono lo zero, a tua scelta.

[Bruno]

Bene Bruno, hai esposto il tuo metodo (Problema 1), adesso mettilo alla prova (Problema 2) trovandomi tutte le soluzioni dell'equazione
2x + 7y + 9z

Giobimbo, intendevi 2·x+7·y+9·z = 100 ?

[giobimbo]

Scusa, mi è rimasta nella tastiera...
Sì intendevo quella. Fammi anche solo 4 o 5 soluzioni, ma spiegando in dettaglio come le ottieni usando il tuo sistema. Per soluzioni intendo le 4 o 5 triple (xi, yi, zi) che soddisfano la diofantea.

[Bruno]

Temo di non capirti, Giobimbo

A me sembrava di aver già indicato la soluzione generale di quella equazione: (x, y, z) = (-8·u+v+50, u+v, u-v).
Basta scegliere (a piacere) gli interi u e v per trovare tutte le triplette particolari che vogliamo.
Infatti vale l'identità:
2·(-8·u+v+50)+7·(u+v)+9·(u-v) = 100.
E la tua soluzione particolare (16, 2, 6) si ottiene con (u, v) = (4, -2).

In linea un pochino più generale, se:
2·x+7·y+9·z = p,
ove p è un numero pari, allora:
(x, y, z) = (-8·u+v+p/2, u+v, u-v);
se invece:
2·x+7·y+9·z = d,
ove d è un numero dispari, allora:
(x, y, z) = (-8·u+v+(d-7)/2, u+v+1, u-v).

Fraintendo?

[giobimbo]

Ma se usi la formula
2·(-8·u+v+50)+7·(u+v)+9·(u-v) = 100
per ottenere una soluzione e quindi per trovarle tutte, il tuo metodo non è proprio semplice, visto che il Problema 1 richiede di usare solo somme e sottrazioni...

[Gianfranco]

Cari amici, seguo questa discussione con molto interesse.
Non intervengo sul problema perché le mie conoscenze sono scarse.
Però ci tenevo a mandarvi questo messaggio e a ringraziarvi.

[Bruno]

Ma se usi la formula
2·(-8·u+v+50)+7·(u+v)+9·(u-v) = 100
per ottenere una soluzione e quindi per trovarle tutte, il tuo metodo non è proprio semplice, visto che il Problema 1 richiede di usare solo somme e sottrazioni...

Giobimbo, il ragionamento è questo, abbiamo:
2·x + 7·y + 9·z = 100,
y e z devono avere la stessa parità (è un fatto immediato), quindi esistono senz'altro due interi u e v che garantiscono tale necessità, cioè tali che:
u+v = y,
u-v = z.
Vado a sostituire e ricavo agilmente la x, con u e v scelti in ℤ.
La conclusione si traduce velocemente in tre formule, certo, ma il procedimento risolutivo (o metodo) mi pare semplice e utilizza somme e sottrazioni.
Per questo ho pensato che il mio intervento fosse opportuno, avesse una sua ragion d'essere
Se non ti soddisfa però, va benissimo, mi faccio da parte.
Grazie comunque, Giobimbo, perché mi son divertito.

Cari amici, seguo questa discussione con molto interesse.
Non intervengo sul problema perché le mie conoscenze sono scarse.
Però ci tenevo a mandarvi questo messaggio e a ringraziarvi.

Un caro saluto, Gianfranco

[giobimbo]

Guarda Bruno che qui non si tratta di calcoli che devono soddisfare me, ma calcoli che devono funzionare. Ho visto che per trovare x e y usi somme e sottrazioni, ma non dici come trovare l’incognita z (sempre solo usando somme e sottrazioni). A me pare che tu - anche se non l’hai detto - usi una divisione.
Correggimi se sbaglio, cosa che mi succede più di una volta .

[Bruno]

Giobimbo immagino che tu ti riferisca all'incognita x. Volendo, penso che la divisione potrebbe essere evitata:
2·x + 7·(u + v) + 9·(u - v) = 100,
2·x + (8 + 8 )·u - (1 + 1)·v = 50 + 50,
x - (-8·u + v + 50) = (-8·u + v + 50) - x = 0,
x = -8·u + v + 50.

Tuttavia, Giobimbo, ritengo che tu abbia in mente ben altro, quindi libero lo spazio per ulteriori, diverse idee.
Forse il nostro scambio è servito per definire ancor meglio il perimetro del tuo problema

[Quelo]

Il massimo valore di y è 11 (2+12*7+9=95, 2+13*7+9>100)
mentre per z è 9 (2+7+10*9=99, 2+7+11*9>100)
y e z devono essere entrambe pari o entrambe dispari, quindi le soluzioni sono al massimo 50, di queste solo 32 hanno x positivo e si possono ricavare facilmente (42,1,1), (34,2,2), (33,1,3), (35,3,1), (26,3,3) ecc...

Se invece parto da una soluzione nota, per esempio (42,1,1), posso sottrarre 8 da x ed aggiungere 1 a y e 1 a z
(42,1,1), (34,2,2), (26,3,3), (18,4,4), (10,5,5), (2,6,6)

Oppure sottrarre 7 da x e aggiungere 2 a y
(42,1,1), (35,3,1), (28,5,1), (21,7,1), (14,9,1), (7,11,1)

Oppure sottrarre 9 da x e aggiungere 2 a z
(42,1,1), (33,1,3), (24,1,5), (15,1,7), (6,1,9)

e così via

Più in genarale se (x1, y1, z1) è una soluzione allora anche (x1-b, y1+a, z1) è una soluzione

a(x1-b)+b(y1+a)+cz1 = ax1-ab+by1+ab+cz1 = ax1+by1+cz1

[Bruno]

Perfetto, Sergio penso proprio che questo sia quello che cercava Giobimbo.

Naturalmente, le soluzioni su cui dobbiamo concentrarci non sono solo quelle positive (il testo non lo chiede) e quindi sono infinite.

[giobimbo]

Non capisco perché, ma tutte le volte che andavo nel forum trovavo che l’ultima risposta al mio problema era di Bruno, in data 22 febbraio. Stamattina, pensando di salvare il tutto in formato pdf per il mio archivio, ho scoperto che c’erano nuovi interventi ai quali rispondo ora.
Bravo Quelo, come si vede dalla mia gigantesca figura le soluzioni

Tutte le soluzioni appartenenti all'insieme E oppure anche quelle che comprendono lo zero, a tua scelta

sono
7+9+7+5+3+1=32
oppure 38 se contiamo quelle in cui z=0, cioè con z non elemento di E.

502 soluz2.png (44.46 KiB) Visto 12418 volte

La soluzione di partenza (16, 2, 6) è evidenziata da un cerchio. Spero si capisca come sono state ottenute tutte le altre, altrimenti aggiungerò una verbosa descrizione a parole. Tale soluzione è valida solo se c=(a+b); se c=(a-b) oppure c=(b-a) le diagonali hanno direzione contraria; se la somma di due coefficienti è diversa dal terzo le diagonali non hanno 45 gradi e bisogna risolvere un’equazione parametrica (quindi usando prodotto e divisione) per trovarne l’inclinazione.

[Gianfranco]

Fenomenale!
Grazie Giobimbo, Sergio e Bruno!