A2879. Algebricamente complicato, geometricamente semplice
Avendo fissato inizialmente il parametro $p > 0$, nel campo da 0 a infinito della variabile reale $x$, l'espressione $y = 1/sin(arctang(x/p) – arctang(x/(p+1)))$ ha valore minimo $2022$.
Dedurre $p$.
proposto da B.Vignes
www.diophante.fr
A2879. Algébriquement compliqué,géométriquement simple
Le paramètre p > 0 étant fixé à l’avance, quand le nombre réel x varie de 0 à l’infini, l’expression
y = 1/sin(arctang(x/p) – arctang(x/(p+1))) a pour minimum 2022.
En déduire p.
Minimo 2022
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Minimo 2022
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
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someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Re: Minimo 2022
Io l'ho pensata così, non so se è giusto (formule elaborate con wolframalpha):
$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=0$ rappresenta anche i minimi di y
La soluzione è $\displaystyle x = \sqrt{p}\sqrt{p+1}$
$\displaystyle y=-\csc\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{p+1}}\right) - \arctan\left(\frac{\sqrt{p+1}}{\sqrt{p}}\right)\right)=2022$
$\displaystyle p=\frac{2021}{2}$
Tracciando $\displaystyle y=-\csc\left(\arctan\left(\frac{2x}{2023}\right) - \arctan\left(\frac{2x}{2021}\right)\right)$
Vediamo che effettivamente il minimo per x positivo è y=2022
$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=0$ rappresenta anche i minimi di y
La soluzione è $\displaystyle x = \sqrt{p}\sqrt{p+1}$
$\displaystyle y=-\csc\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{p+1}}\right) - \arctan\left(\frac{\sqrt{p+1}}{\sqrt{p}}\right)\right)=2022$
$\displaystyle p=\frac{2021}{2}$
Tracciando $\displaystyle y=-\csc\left(\arctan\left(\frac{2x}{2023}\right) - \arctan\left(\frac{2x}{2021}\right)\right)$
Vediamo che effettivamente il minimo per x positivo è y=2022
[Sergio] / $17$