Probabilità geometrica

[Maurizio59]

Data una corona circolare di raggi 1 e 2, si prendono due punti all'interno di essa.
Qual è la probabilità che il segmento che unisce i due punti sia totalmente interno alla corona circolare?

Ps. Non essendo completamente sicuro della mia soluzione si accettano volentieri simulazioni numeriche.

[Quelo]

La simulazione numerica restituisce 49,5% su 10 milioni di iterazioni

[Quelo]

Se faccio i conti però mi viene 50,8%

Uno dei due risultati è sbagliato, oppure tutti e due, a te cosa esce?

[Maurizio59]

... a te cosa esce?

A me viene circa 52,1% (il valore esatto non lo metto perchè a questo punto non so se la soluzione è corretta).

[Quelo]

Ho visto che la simulazone sbaglia per difetto anche su valori certi (es. quando uno dei due punti è sulla circonferenza interna), quindi sono più propenso a fidarmi del calcolo.
Metto qui il mio ragionamento così magari ci confrontiamo.

La posizione del primo punto può essere descritta da una sola variabile, in quanto la figura è simmetrica rispetto al centro.
Per comodità lo mettiamo sull'asse delle ascisse, quindi la sua coordinata x varierà tra 1 e 2
L'altro punto è uno qualsiasi dei punti della corona (anche qui possiamo ragionare solo su mezza figura per via della simmetria)
In funzione della posizione di $P_1$ ci sarà un'area $A_{SI}$ che contiene tutti i punti $P_2$ per cui il segmento $[P_1,P_2]$ è interno alla corona
Il rapporto tra quest'area e l'area della corona ($A_{CC}=3\pi)$ è la probabilità cercata.
Per $x=1$, $A_{SI}$ è il segmento circolare sotteso da un angolo di 120° e vale $\displaystyle A_{SC}=\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}=2,45674$
La probabilità sarà pertanto $\displaystyle P(1)=\frac{A_{SI}}{A_{CC}}=26,07\%$

Corona_1.png (37.65 KiB) Visto 8454 volte

Per $x>1$, in funzione dell'angolo formato dalle tangenti alla circonferenza interna, $\displaystyle\beta=\arccos{\left(\frac{1}{x}\right)}$,
$A_{SI}$ si raddoppia con un settore sovrapposto $A_{SP}$ da sottrarre e un settore opposto a questo $A_{SO}$ da sommare

$A_{SI}=2(A_{SC}-A_{SP}+A_{SO})$

Corona_2.png (59.91 KiB) Visto 8454 volte

Per $x=2$, $A_{SI}=2(A_{SC}+A_{SO})=5,59833$
$\displaystyle P(2)=\frac{A_{SI}}{A_{CC}}=59,4\%$

Corona_3.png (53.12 KiB) Visto 8454 volte

Sviluppando i calcoli ottengo questa formula per l'area segmento interno

$\displaystyle A_{SI}(x)=\frac{9\,\text{arc}\!\sec{(x)}+4 \pi-3 \sqrt{3}}{3}$

Poiché x varia esattamente di 1, l'area sottesa dalla curva è anche il valore medio ponderato, quindi per la probabilità possiamo usare un integrale (almeno credo)

$\displaystyle P=\int_{1}^{2}\frac{A_{SI}(x)}{3\pi}dx=50,81\%$

[Maurizio59]

La tua soluzione considera la distribuzione del punto P omogenea sul segmento AB (A(1;0).B(2;0)).
Invece essa non è omogenea in quanto la probabilità che il punto P sia vicino al punto B è maggiore rispetto alla probabilità che sia vicino al punto A.

[Quelo]

Hai ragione

Ho rifatto la simulaizone in coordinate cartesiane e conferma 52,1%

Per quanto riguarda i calcoli, poiché la distribuzione è funzione del raggio, basta moltiplicare per x la funzione dell'area e dividere il risultato per l'incremento introdotto

$\displaystyle P(P_1,P_2)=\frac{1}{\int_1^2 x\,dx}\int_1^2 \frac{9\,\text{arc}\!\sec{(x)}+4 \pi-3 \sqrt{3}}{9\pi}\,x\,dx=\frac89-\frac{2\sqrt{3}}{3\pi}=52,134\%$

[Maurizio59]

Ok, hai ottenuto il mio stesso risultato.
Visto che la simulazione numerica lo conferma allora la soluzione dovrebbe essere corretta.

[Quelo]

Lascio il codice per eventuale verifica

Codice: Seleziona tutto

PYTHON 3
from random import uniform

s = 100
r1 = 1
r2 = 2
p = 0
q = 0
jp = 10000000
    
for j in range(jp):
    x1 = uniform(-r2,r2)
    y1 = uniform(-r2,r2)
    x2 = uniform(-r2,r2)
    y2 = uniform(-r2,r2)

    if (x1**2+y1**2>=1) & (x1**2+y1**2<=4) & (x2**2+y2**2>=1) & (x2**2+y2**2<=4):
        q += 1                    
        dmin = r2
                        
        xs = (x2-x1)/s
        ys = (y2-y1)/s
        xp = x1
        yp = y1

        c = True
        for i in range(s):
            xp += xs
            yp += ys
            d = (xp**2+yp**2)**.5
            if d<dmin: dmin = d
            c &= d>=r1 
        if c: p += 1

print(round(p/q*100,3))

----------------------------------
DECIMAL BASIC
LET s = 100
LET r1 = 1
LET r2 = 2
LET p = 0
LET q = 0
LET jp = 10000000

FOR j = 1 TO jp
   LET x1 = 2*r2*RND-r2
   LET y1 = 2*r2*RND-r2
   LET x2 = 2*r2*RND-r2
   LET y2 = 2*r2*RND-r2
    
   IF (x1^2+y1^2>=1) AND (x1^2+y1^2<=4) AND (x2^2+y2^2>=1) AND (x2^2+y2^2<=4) THEN
      LET q = q+1
      LET dmin = r2
       
      LET xs = (x2-x1)/s
      LET ys = (y2-y1)/s
      LET xp = x1
      LET yp = y1
       
      LET c = 1
      FOR i = 1 TO s
         LET xp = xp+xs
         LET yp = yp+ys
         LET d = (xp^2+yp^2)^.5
         IF d<dmin THEN LET dmin = d
         IF d<r1 THEN LET c = 0
      NEXT I
      IF c = 1 THEN LET p = p+1
   END IF
NEXT J 

PRINT ROUND(100*p/q,3)
END

[Maurizio59]

Algoritmi molto interessanti.

Ho provato ad estendere il problema alle tre dimensioni (corona sferica).
Posso approfittare della tua maestria per avere una conferma tramite simulazione numerica?

[Quelo]

Mi esce 56,9%

da prendere con il beneficio del dubbio

[Maurizio59]

Penso che la tua simulazione sia esatta.
A me viene una probabilità p = 223/392 = 0.5688%.
O abbiamo sbagliato entrambi!

[Quelo]

Mi sono reso conto che mi sono un po' complicato la vita, potevo ragionare per differenza

Corona_4.png (55.27 KiB) Visto 8282 volte

Consideriamo la parte dove cadono i punti che non permettono al segmento di ricadere completamente nella corona

A destra abbiamo un settore circolare individuato dall'angolo $\displaystyle\beta=arc\!\sec{(x)}$ la cui area vale $\displaystyle A_1=\beta$
A sinistra invece un settore circolare individuato dall'angolo $\displaystyle\gamma=\frac{2\pi}{3}-arc\!\sec{(x)}$ la cui area vale $\displaystyle A_2=4\gamma$
A questi si aggiungono 2 triangoli di area totale pari a $\displaystyle A_T=\sqrt{3}$

Sottraiamo dall'area del cerchio esterno e otteniamo la formula vista prima:
$\displaystyle A_{SI}=A_C-(A_1+A_2+A_T)=4\pi-(4\gamma+\beta+\sqrt{3})=3\,arc\!\sec{(x)}-\frac{4\pi}{3}+\sqrt{3}$

Per il caso della corona sferica ho ragionato in modo differente

Corona_5.png (42.49 KiB) Visto 8282 volte

$\displaystyle y(k)=\frac{\pi}{\sqrt{x^2-1}}(x-k)$ è la retta tangente alla circonferenza interna passante per x
Calcoliamo la coordinata x del punto tangente alla circonferenza interna: $\displaystyle x_1=\frac{1}{x}$
e dell'intersezione con la circonferenza esterna: $\displaystyle x_2=\frac{1-\sqrt{3x^2-3}}{x}$

Abbiamo tre sezioni: a sinistra per $\displaystyle x_2<x<x_1$, al centro per $\displaystyle x_1<x<1$ e a destra per $\displaystyle 1<x<2$

Immaginiamo che le rette verticali siano piani paralleli all'asse z, le coordinate y sono i raggi delle circonferenze di intersezione fra i piani e la sfera, $\displaystyle \pi\,y^2$ è l'area del cerchio, integrando per x si ottiene il volume

Partendo da sinistra:
$\displaystyle V_2=\int_{\large x_2}^{\large x_1}\pi(4-k^2)-\frac{\pi(x-k)^2}{x^2-1}\,dk=\frac{2\pi\sqrt{3x^2-3}}{x}$
$\displaystyle V_1=\int_{\large x_1}^{1}\pi(4-k^2)-\pi(1-k^2)\,dk=\frac{3\pi(x-1)}{x}$
$\displaystyle V_0=\int_{1}^{2}\pi(4-k^2)\,dk=\frac{5\pi}{3}$

Il volume della corona circolare è $\displaystyle V_{CC}=\frac43\pi 2^3-\frac43\pi 1^3=\frac{28\pi}{3}$

Per calcolare la probabilità integriamo la funzione $\displaystyle V(x)=V0+V1+V2$ tenendo conto che la distribuzione varia con il quadrato di x

$\displaystyle P(P_1,P_2)=\frac{1}{V_{CC}\int_1^2x^2\,dx}\int_{1}^{2}x^2V(x)\,dx=\frac{223}{392}=56,88\%$

Ora la sfida è farlo in 4 dimensioni, vi dico subito che la probabilità vale circa 62,3%

SE&O