Il dodecaedro regolare nn è poi così perfetto...

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Admin
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Il dodecaedro regolare nn è poi così perfetto...

Messaggio da Admin »

Buongiorno a tutti,
da qualche giorno sto lavorando su creazioni origami basate sul dodecaedro.
Consultando così la matematica e geometria di quest'ultimo, c'è un numero che mi lascia un pò stupito.
Ossia il valore dell'angolo diedro.
Intuitivamente mi aspettavo un valore intero, tipo $120°$; invece il valore dell'angolo risulta essere approssimativamente di $116,5°$.
Considerando che per Platone era il solido perfetto, questo valore mi è sembrato un pò fuori luogo.
Che ne pensate?

Saluti
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Quelo
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Re: Il dodecaedro regolare nn è poi così perfetto...

Messaggio da Quelo »

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I solidi regolari possono essere inscritti in una sfera.

Se poniamo $R=1$ il raggio della sfera, avremo: spigolo del dodecaedro $\displaystyle L=\frac{4}{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}= 0,7136$

Ogni pentagono di lato $L$ avrà:

apotema $\displaystyle a=\frac{L}{2\,tan{(36°)}}=0,4911$

raggio della circonferenza circoscritta $\displaystyle r=\frac{2L}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}=0,6071$

Se ora dividiamo la sfera in due metà, lungo un piano che includa due spigoli opposti, la sezione del dodecagono avrà il seguente aspetto, cioè un poligono con 2 lati di lunghezza $L$, i cui vertici cadono su una circonferenza di raggio $R$, e 4 lati di lunghezza $a+r$ che indivduano angoli da 116,55°

dodecaedro.png
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[Sergio] / $17$

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