Il dodecaedro regolare nn è poi così perfetto...

[Admin]

Buongiorno a tutti,
da qualche giorno sto lavorando su creazioni origami basate sul dodecaedro.
Consultando così la matematica e geometria di quest'ultimo, c'è un numero che mi lascia un pò stupito.
Ossia il valore dell'angolo diedro.
Intuitivamente mi aspettavo un valore intero, tipo $120°$; invece il valore dell'angolo risulta essere approssimativamente di $116,5°$.
Considerando che per Platone era il solido perfetto, questo valore mi è sembrato un pò fuori luogo.
Che ne pensate?

Saluti
Admin

[Quelo]

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I solidi regolari possono essere inscritti in una sfera.

Se poniamo $R=1$ il raggio della sfera, avremo: spigolo del dodecaedro $\displaystyle L=\frac{4}{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}= 0,7136$

Ogni pentagono di lato $L$ avrà:

apotema $\displaystyle a=\frac{L}{2\,tan{(36°)}}=0,4911$

raggio della circonferenza circoscritta $\displaystyle r=\frac{2L}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}=0,6071$

Se ora dividiamo la sfera in due metà, lungo un piano che includa due spigoli opposti, la sezione del dodecaedro avrà il seguente aspetto, cioè un poligono con 2 lati di lunghezza $L$, i cui vertici cadono su una circonferenza di raggio $R$, e 4 lati di lunghezza $a+r$ che indivduano angoli da 116,55°

dodecaedro.png (54.69 KiB) Visto 17296 volte

[mariaangelone]

ciao quelo sono mariolina, rientrata al vostro forum dopo tanto tempo. dando una carrellata ho visto il tuo mess sul dodecaedro. premetto che non sono una matematica quindi non posso rispondere matematicamente,ma mi piacerebbe sapere se ho capito bene quello che tu dici, dato che faccio delle opere artistiche che hanno correlazioni con la geometria. mi sono molto appassionata al dodecaedro e ho fatto diverse opere che lo riguardano. ti ho mandato anche la foto di una di queste. Dunque se ho capito bene tu dici che il dodecaedro per i riscontri matematici che hai fatto non è un solido perfettamente regolare e quindi non iscrivibile in una sfera. questo mi giunge un pò strano perchè nell'universo matematico sono solo 5 i solidi iscrivibili in una sfera e uno di questi il dodecaedro ampiamente studiato da platone. ho capito bene quello che tu dici? mi piacerebbe saperlo. grazie. comunque ho visto la tua foto e il contesto matematico inserito, molto bello. ciao a presto