Alla carta

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franco
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Alla carta

Messaggio da franco »

I numeri interi $n$, $n+1$, ..., $2n$ sono scritti su $(n+1)$ carte, con $n ≥ 100$.
Dividiamo le carte in due mazzi.
Dimostrare che almeno uno dei mazzi contiene una coppia di carte la cui somma dei numeri è un quadrato perfetto.



Problama proposto da Raymond Bloch
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Franco

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NothIng
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Re: Alla carta

Messaggio da NothIng »

Consideriamo il caso n = 100.
Le carte sono numerate da 100 a 200; la somma di tutte le coppie possibili è un valore compreso tra 201 ... 399 estremi inclusi.
I modi possibili di suddividere le carte in due insiemi è $2^{100}$, molto grande!

Ad ogni modo è possibile ridurre la dimensione del problema considerando solo 5 numeri 126, 161, 163, 198, 200 e trascurando gli altri.
\begin{array} {|c|c|}\hline \boldsymbol {Carta 1} & \boldsymbol {Carta} 2 & \boldsymbol {Somma} & \boldsymbol {Radice} \\ \hline 126 & 163 & 289 & 17 \\ \hline 126 & 198 & 324 & 18 \\ \hline 161 & 163 & 324 & 18 \\ \hline 161 & 200 & 361 & 19 \\ \hline 163 & 198 & 361 & 19 \\ \hline \end{array}
In questo caso i possibili mazzi sono solo $2^{5}$ e per questioni di simmetria è sufficiente analizzarne solo 16.
Le possibili distribuzioni sono:
\begin{array} {|l|c|c|}
\hline \, & \boldsymbol {Mazzo1} & \, & \boldsymbol {Coppia\,Mazzo2} & \, & \boldsymbol {Somma} & \boldsymbol {Radice} \\
\hline un\,mazzo\,da\,0\,carte\,e\,uno\,da\,5 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione1} & --- & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \, & \, & \, & \, & \, & \, & \, \\
\hline un\,mazzo\,da\,1\,carta\,e\,uno\,da\,4 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione2} & 126 & \, & 161 & 163 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione3} & 161 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione4} & 163 & \, & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione5} & 198 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione6} & 200 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \, & \, & \, & \, & \, & \, & \, \\
\hline un\,mazzo\,da\,2\,carte\,e\,uno\,da\,3 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione7} & 126 & 161 & 163 & 198 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione8} & 126 & 163 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione9} & 126 & 198 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione10} & 126 & 200 & 161 & 163 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione11} & 161 & 163 & 126 & 198 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione12} & 161 & 198 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione13} & 161 & 200 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione14} & 163 & 198 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione15} & 163 & 200 & 126 & 198 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione16} & 198 & 200 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline
\end{array}
Indipendentemente dalle 95 carte che non stiamo considerando si ha che in tutte le possibili distribuzione c'è sempre una coppia che per somma da un quadrato perfetto: il questito è risolto per n=100.
La generealizzazione per $100<=n<=126$ è immediata e senza sforzo.

Utilizzando 5-uple opportune è possibile estendere lo stesso ragionamento a tutti gli n: vi lascio un po' di tempo così potete divertirvi.

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