Alla carta

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1364
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Alla carta

Messaggio da franco »

I numeri interi $n$, $n+1$, ..., $2n$ sono scritti su $(n+1)$ carte, con $n ≥ 100$.
Dividiamo le carte in due mazzi.
Dimostrare che almeno uno dei mazzi contiene una coppia di carte la cui somma dei numeri è un quadrato perfetto.



Problama proposto da Raymond Bloch
www.diophante.fr
A1769
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

NothIng
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 11
Iscritto il: mar ago 16, 2022 9:18 pm

Re: Alla carta

Messaggio da NothIng »

Consideriamo il caso n = 100.
Le carte sono numerate da 100 a 200; la somma di tutte le coppie possibili è un valore compreso tra 201 ... 399 estremi inclusi.
I modi possibili di suddividere le carte in due insiemi è $2^{100}$, molto grande!

Ad ogni modo è possibile ridurre la dimensione del problema considerando solo 5 numeri 126, 161, 163, 198, 200 e trascurando gli altri.
\begin{array} {|c|c|}\hline \boldsymbol {Carta 1} & \boldsymbol {Carta} 2 & \boldsymbol {Somma} & \boldsymbol {Radice} \\ \hline 126 & 163 & 289 & 17 \\ \hline 126 & 198 & 324 & 18 \\ \hline 161 & 163 & 324 & 18 \\ \hline 161 & 200 & 361 & 19 \\ \hline 163 & 198 & 361 & 19 \\ \hline \end{array}
In questo caso i possibili mazzi sono solo $2^{5}$ e per questioni di simmetria è sufficiente analizzarne solo 16.
Le possibili distribuzioni sono:
\begin{array} {|l|c|c|}
\hline \, & \boldsymbol {Mazzo1} & \, & \boldsymbol {Coppia\,Mazzo2} & \, & \boldsymbol {Somma} & \boldsymbol {Radice} \\
\hline un\,mazzo\,da\,0\,carte\,e\,uno\,da\,5 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione1} & --- & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \, & \, & \, & \, & \, & \, & \, \\
\hline un\,mazzo\,da\,1\,carta\,e\,uno\,da\,4 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione2} & 126 & \, & 161 & 163 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione3} & 161 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione4} & 163 & \, & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione5} & 198 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione6} & 200 & \, & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \, & \, & \, & \, & \, & \, & \, \\
\hline un\,mazzo\,da\,2\,carte\,e\,uno\,da\,3 & \, & \, & \, & \, &\, & \, \\
\hline \boldsymbol {distribuzione7} & 126 & 161 & 163 & 198 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione8} & 126 & 163 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione9} & 126 & 198 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione10} & 126 & 200 & 161 & 163 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione11} & 161 & 163 & 126 & 198 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione12} & 161 & 198 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione13} & 161 & 200 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione14} & 163 & 198 & 161 & 200 & 361 & 19 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione15} & 163 & 200 & 126 & 198 & 324 & 18 \\
\hline \boldsymbol {distribuzione16} & 198 & 200 & 126 & 163 & 289 & 17 \\
\hline
\end{array}
Indipendentemente dalle 95 carte che non stiamo considerando si ha che in tutte le possibili distribuzione c'è sempre una coppia che per somma da un quadrato perfetto: il questito è risolto per n=100.
La generealizzazione per $100<=n<=126$ è immediata e senza sforzo.

Utilizzando 5-uple opportune è possibile estendere lo stesso ragionamento a tutti gli n: vi lascio un po' di tempo così potete divertirvi.

NothIng
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 11
Iscritto il: mar ago 16, 2022 9:18 pm

Re: Alla carta

Messaggio da NothIng »

Un po' di tempo è passato, così rieccomi.

Scegliendo 5 numeri così definiti:
$N_1 = 2a(a-2) = 2a^2 - 4a$
$N_2 = 2a^2-1$
$N_3 = 2a^2+1$
$N_4 = 2a(a+2) = 2a^2+2a$
$N_5 = 2(a+1)^2 = 2a^2 + 4a + 2$

e ponendo $a \ge 7$ la situazione si può rappresentare graficamente così:
n1_n5
n1_n5
alla_carta.png (10.99 KiB) Visto 16 volte
dove $C_n$ e $C_{2n}$ sono i numeri scritti sulla prima e sull'ultima carta.
Si verifica immediatamente che in ogni modo si distribuiscano le 5 carte con i numeri $N_1$ ... $N_5$ c'è sempre un mazzo con almeno una coppia di $N_x$ la cui somma è un quadrato perfetto.

Il problema richiede $n \ge 100$; i casi con $100 \le n \le 126$ li ho già discussi nel precedente post mentre per gli altri è sufficiente porre $a \ge 9 $ a cui corrisponde $N_1 \ge 126$

La condizione $a \ge 7$ (automaticamente soddisfatta per il range imposto dal problema) è necessaria per avere $N_1$ ... $N_5$ compresi tra $C_n$ e $C_{2n}$.

Rispondi