Sulla A4

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franco
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Sulla A4

Messaggio da franco »

Fra Milano e Bergamo, sull'autostrada A4, c'è un flusso continuo di autotreni in entrambe le direzioni.
Andando da Bergamo a Milano, a 110 km/h per una distanza di 37 km, ho incrociato esattamente 300 autotreni che venivano in direzione opposta.
Assumendo che il flusso degli autotreni sia lo stesso in entrambe le direzioni e che viaggino tutti a 90 km/h:
a) quanti autotreni ho sorpassato?
b) quanti autotreni arrivano ogni ora a Bergamo?

Problema proposto da Roger Kieger, pubblicato su "La Jaune et la Rouge" di aprile 2022
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Franco

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Quelo
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Re: Sulla A4

Messaggio da Quelo »

La velocità relativa tra me e gli autotreni in direzione opposta è 200 km/h, mentre nella stessa direzione è 20 km/h, quindi se incontro 300 autotreni sull'altra corsia, ne supererò 30 dal mio lato.

Indichiamo con:
$W_M = 110\; km/h$ la mia velocità
$V_A = 90\; km/h$ la velocitò degli autotreni
$D = 37\; km$ la distanza percorsa
$N = 300$ il numero degli autotreni incontrati

il tempo di percorrenza sarà $\displaystyle T_M=\frac{D}{V_M}$
il tempo tra un autotreno e l'altro (dal mio punto di vista) $\displaystyle T_{Cm}=\frac{T_M}{N}=\frac{D}{V_M\cdot N}$
la distanza tra due autotreni $\displaystyle D_C=T_{Cm}(V_M+V_C)=\frac{D(V_M+V_C)}{V_M\cdot N}$
il tempo in cui un autotreno percorre tale distanza $\displaystyle T_C=\frac{D_C}{V_C}=\frac{D(V_M+V_C)}{V_M\cdot V_C\cdot N}$
gli autotreni che arrivano a Bergamo in un'ora $\displaystyle N_{A_{BG}}=\frac{1}{T_C}=\frac{V_M\cdot V_C\cdot N}{D(V_M+V_C)}$

Vediamo un altro approccio:
Sul percorso ci sono in ogni momento $\displaystyle N_{Ap}=\frac{D}{D_C}$ autotreni per senso di marcia
Nel tempo di percorrenza, al casello di Milano si presentano $\displaystyle N_{Ac}=\frac{T_M}{T_C}=\frac{D}{V_M}\frac{V_C}{D_C}$
$\displaystyle N=N_{Ap}+N_{Ac}=\frac{D}{D_C}+\frac{D}{V_M}\frac{V_C}{D_C}=\frac{D(V_M+V_C)}{V_M\cdot D_C}$

da cui $\displaystyle N_{A_{BG}}=\frac{V_M\cdot V_C\cdot N}{D(V_M+V_C)}=401$

SE&O
[Sergio] / $17$

franco
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Re: Sulla A4

Messaggio da franco »

Io l'avevo risolto così:
1.
Un osservatore fermo a bordo strada vede i camion passare a $90$ km/h di velocità ($= 25$ m/s).
Passa un camion ogni $x$ secondi, il che significa che i camion sono distanziati di $25x$ metri l’uno dall’altro.
2.
Con la mia auto (a 110 km/h) percorro la tratta BG-MI (37 km) in $37/110*3600 = 1211$ secondi
3.
Nell’istante in cui imbocco la A4, sulla tratta per Bergamo sono presenti $37000/25x = 1480/x$ camion e altrettanti sono presenti sulla tratta in direzione opposta.
4.
Lungo il tragitto incrocio tutti i camion che erano in quel momento già in direzione Bergamo, più quelli che ci si sono immessi durante il tempo del mio viaggio: $1480/x + 1211/x = 2691/x$
Poiché ho contato che i camion incrociati sono $300$, sarà $x = 2691/300 = 8.97$ secondi
5.
I camion sorpassati sono quelli che erano per strada nel momento del mio ingresso in direzione Milano meno quelli che sono arrivati durante il mio percorso: $1480/x - 1211/x = 269/x = 30$
6.
I camion che arrivano a Bergamo in un’ora sono $3600/x = 401$ (circa)

ciao
Franco

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