Copertura di un semicerchio

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franco
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Copertura di un semicerchio

Messaggio da franco »

Un semicerchio di raggio unitario è completamente coperto da tre cerchi identici.
Trovare il valore minimo del diametro dei tre cerchi.

Problema proposto da Maurizio Morandi su www.diophante.fr
D4930
Franco

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panurgo
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Re: Copertura di un semicerchio

Messaggio da panurgo »

CoperturaDiUnSemicerchio.png
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Ma si può far meglio...
il panurgo

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Quelo
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Re: Copertura di un semicerchio

Messaggio da Quelo »

semicerchio.png
semicerchio.png (75.51 KiB) Visto 334 volte
$\displaystyle x=\sin{\alpha}=\frac{1}{2\sin{\gamma}}$

$\displaystyle 2\;\sin{\alpha}\;\sin{\frac{\pi+2\alpha}{4}}=1$

da cui si ricava

$\displaystyle \alpha=34,41597°$

$\displaystyle x=0,5652$

Non so se c'è un modo più semplice per calcolarlo
[Sergio] / $17$

panurgo
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Re: Copertura di un semicerchio

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
mer ott 05, 2022 11:21 am
Ma si può far meglio...
CoperturaDiUnSemicerchio.3.640x384.png
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Con riferimento alla figura, tutti i segmenti segnati sono raggi dei tre cerchi.
Alla base vi sono tre triangoli isosceli, quello interno di base $b_1$ e altezza $h_1$, quelli esterni di base $b_2$ e altezza $h_2$.
I vertici dei rombi sono le intersezioni dei tre cerchi con il semicerchio e la sua base (questo garantisce che tutto il semicerchio sia coperto).
Le coordinate del vertice, $\left(b_2/2,h_1+h_2\right)$, seguono dal fatto che i lati del rombo sono a due a due paralleli.
Possiamo scrivere le seguenti equazioni

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle r^2=h_1^2+\left(\frac{b_1}2\right)^2=h_2^2+\left(\frac{b_2}2\right)^2 \\
\displaystyle b_1=2-2b_2 \\
\displaystyle \left(h_1+h_2\right)^2+\left(\frac{b_2}2\right)^2=1
\end{array}\right.$

Per comodità poniamo $x=b_2/2$ e $y=h_1$, sostituiamo e combiniamo le prime due equazioni ottenendo

$\displaystyle y^2+\left(1-2x\right)^2=h_2^2+x^2$

ovvero

$\displaystyle h_2^2=3x^2-4x+y^2+1$

Sostituiamo i valori nella terza equzione e otteniamo

$\displaystyle\left(y+\sqrt{3x^2-4x+y^2+1}\right)^2+x^2=1$

e cioè

$\displaystyle 2x^2-2x+y^2=-y\sqrt{3x^2-4x+y^2+1}$

Eleviamo a quadrato entrambi i membri e semplifichiamo il tutto ottenendo

$\displaystyle y^2=\frac{4\left(1-x\right)x^2}{1+x}$

Dalla prima equazione ricaviamo dunque

$\displaystyle r^2=\frac{4\left(1-x\right)x^2}{1+x}+\left(1-2x\right)^2=\frac{4x^2-3x+1}{1+x}$

Per $r\geq 0$, $r^2$ è una funzione monotona crescente quindi è minima quando $r$ è minimo: derivando e uguagliando a zero troviamo

$\displaystyle \frac{dr^2}{dx}=\frac{4\left(x^2+2x-1\right)}{\left(1+x\right)^2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt2-1$

ovvero

$\displaystyle r=\sqrt{8\sqrt2-11}=0,56009\ldots$
il panurgo

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