Un semicerchio di raggio unitario è completamente coperto da tre cerchi identici.
Trovare il valore minimo del diametro dei tre cerchi.
Problema proposto da Maurizio Morandi su www.diophante.fr
D4930
Copertura di un semicerchio
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Copertura di un semicerchio
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Re: Copertura di un semicerchio
Ma si può far meglio...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Copertura di un semicerchio
$\displaystyle 2\;\sin{\alpha}\;\sin{\frac{\pi+2\alpha}{4}}=1$
da cui si ricava
$\displaystyle \alpha=34,41597°$
$\displaystyle x=0,5652$
Non so se c'è un modo più semplice per calcolarlo
[Sergio] / $17$
Re: Copertura di un semicerchio
Con riferimento alla figura, tutti i segmenti segnati sono raggi dei tre cerchi.
Alla base vi sono tre triangoli isosceli, quello interno di base $b_1$ e altezza $h_1$, quelli esterni di base $b_2$ e altezza $h_2$.
I vertici dei rombi sono le intersezioni dei tre cerchi con il semicerchio e la sua base (questo garantisce che tutto il semicerchio sia coperto).
Le coordinate del vertice, $\left(b_2/2,h_1+h_2\right)$, seguono dal fatto che i lati del rombo sono a due a due paralleli.
Possiamo scrivere le seguenti equazioni
$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle r^2=h_1^2+\left(\frac{b_1}2\right)^2=h_2^2+\left(\frac{b_2}2\right)^2 \\
\displaystyle b_1=2-2b_2 \\
\displaystyle \left(h_1+h_2\right)^2+\left(\frac{b_2}2\right)^2=1
\end{array}\right.$
Per comodità poniamo $x=b_2/2$ e $y=h_1$, sostituiamo e combiniamo le prime due equazioni ottenendo
$\displaystyle y^2+\left(1-2x\right)^2=h_2^2+x^2$
ovvero
$\displaystyle h_2^2=3x^2-4x+y^2+1$
Sostituiamo i valori nella terza equzione e otteniamo
$\displaystyle\left(y+\sqrt{3x^2-4x+y^2+1}\right)^2+x^2=1$
e cioè
$\displaystyle 2x^2-2x+y^2=-y\sqrt{3x^2-4x+y^2+1}$
Eleviamo a quadrato entrambi i membri e semplifichiamo il tutto ottenendo
$\displaystyle y^2=\frac{4\left(1-x\right)x^2}{1+x}$
Dalla prima equazione ricaviamo dunque
$\displaystyle r^2=\frac{4\left(1-x\right)x^2}{1+x}+\left(1-2x\right)^2=\frac{4x^2-3x+1}{1+x}$
Per $r\geq 0$, $r^2$ è una funzione monotona crescente quindi è minima quando $r$ è minimo: derivando e uguagliando a zero troviamo
$\displaystyle \frac{dr^2}{dx}=\frac{4\left(x^2+2x-1\right)}{\left(1+x\right)^2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt2-1$
ovvero
$\displaystyle r=\sqrt{8\sqrt2-11}=0,56009\ldots$
il panurgo
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