Testa a testa

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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Testa a testa

Messaggio da franco »

Due monete A e B sono lanciate simultaneamente e ripetutamente.
Qual è la probabilità che al k-simo lancio il numero cumulativo di "teste" della moneta A sia uguale per la prima volta a quello di "teste" della moneta B?

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(D. Indjoudjian, La Jaune et la Rouge giugno-luglio 2022)
Franco

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Quelo
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Re: Testa a testa

Messaggio da Quelo »

Ho trovato una soluzione ma non in forma chiusa.

Al primo turno si presentano 4 scenari, ognuno con probabilità del 25%, 2 non modificano la differenza tra il numero di teste, gli altri due invece sì, in un senso o nell'altro, quindi se consideriamo Ta-Tb, avremo:
-1: 25%
0: 50%
+1: 25%

La probabilità che l'evento Ta=Tb si verifichi al primo lancio è 2/4

-1 e +1 passano al secondo turno con probabilità 1/4
Ad ogni lancio si presenta lo stesso schema 1/4, 2/4, 1/4, quindi il denominatore aumenta di un fattore 4 (16, 64, 256, ...), per cui ci possiamo concentrare solo sul numeratore

La struttura è simmetrica, in tutti e due i casi 2 scenari mantengono invariata la differenza tra le teste, mentre gli altri due la modificano con -1 e +1
Quindi avremo:

-2: prob. 1 (/16)
-1: prob. 2 (/16)
0: prob. 1+1 (/16)
+1 prob. 2 (/16)
+2 prob. 1 (/16)

La probabilità che l'evento Ta=Tb si verifichi per la prima volta al secondo lancio è 2/16

Si delinea uno schema a piramide, tipo triangolo di Tartaglia, con la seguente regola: l'elemento sopra dà contributo 2x, gli elementi sopra a sinistra e destra danno contributo 1x, l'elemento della colonna centrale dà sempre contributo 0:

3° turno: 1 4 5 4 5 4 1 (/128)
4° turno: 1 6 14 14 10 14 14 6 1 (/256)
ecc...

Con una procedura ricorsiva possiamo calcolare il valore della probabilità al k-esimo lancio

lancio 1: 2/4 = 0,5
lancio 2: 2/16 = 0,125
lancio 3: 4/64 = 0,0625
lancio 4: 10/256 = 0,0390625
lancio 5: 28/1024 = 0,02734375
lancio 6: 84/4096 = 0,020507813
lancio 7: 264/16384 = 0,016113281
lancio 8: 858/65536 = 0,013092041
lancio 9: 2860/262144 = 0,010910034
lancio 10: 9724/1048576 = 0,009273529
lancio 11: 33592/4194304 = 0,008008957
lancio 12: 117572/16777216 = 0,007007837
lancio 13: 416024/67108864 = 0,006199241
lancio 14: 1485800/268435456 = 0,005535036

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franco
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Re: Testa a testa

Messaggio da franco »

Il ragionmento mi sembra corretto.

Inserendo la sequenza che hai postato su OEIS viene fuori anche una formula chiusa che, se non ho fatto errori, sarebbe questa:
$P(k)=[(2k)!/(k!(k+1)!)]/2k$

La parte fra parentesi quadre corrisponde alla sequenza dei numeri Catalani
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Catalan
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Quelo
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Re: Testa a testa

Messaggio da Quelo »

Bravo Franco, solo una cosa, il denominatore non è $2k$ ma $2\cdot 4^k$
[Sergio] / $17$

franco
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Re: Testa a testa

Messaggio da franco »

Quelo ha scritto:
lun ott 03, 2022 10:10 pm
Bravo Franco, solo una cosa, il denominatore non è $2k$ ma $2\cdot 4^k$
Hai ragione, mi sono concentrato sulla sequenza dei denominatori ...

Se non ho sbagliato un'altra volta, alla fine dovrebbe essere $P(k) = 2 C(k)/4^k$
dove $C(k)=(2k)!/(k!(k+1)!)$ rappresenta il $k-simo$ numero di Catalan
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Quelo
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Re: Testa a testa

Messaggio da Quelo »

In realtà il numero di Catalan per k = 0 corrisponde al risultato del primo lancio, quindi la formula diventa: $P(k)=2C(k-1)/4^k$
[Sergio] / $17$

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