Tutte le soluzioni intere.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Con carta e penna e, eventualmente, una semplice calcolatrice:

x² + x·y + y² = 2451.


-----------------
Quiz proposto da Domenico Annunziata.
-----------------
(Bruno)

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Quelo
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Quelo »

Poiché la somma termina con 1, y potrebbe essere 1
Se poniamo y=1 risulta:
$x^2+x=2450$
$(x+1)x=50\cdot49$
$x=49$
[49, 1] è la soluzione più semplice, ma ce ne sono altre 23.
Ovviamente [1, 49], [-49, -1], [-1, -49], ma anche [-50,1], [1, -50], [50, -1] e [-1, 50]

Il problema può essere visto anche in altro modo:
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$
Il più piccolo quadrato maggiore di 2451 è 2500, quindi:
$x+y=50;\quad xy=49$, oppure $\;(x+y)^2=1;\quad xy=-2450$
e troviamo le soluzioni di prima e [50, -49], [-49, 50], [-50, 49], [49, -50]
Andando avanti arriviamo a $55^2=3025$
$x+y=55;\quad xy=574=2\cdot7\cdot41$
[14, 41], [41, 14], [-14, -41], [-41, -14] sono altre soluzioni

Si tratta dell'equazione di un ellisse con centro nell'origine degli assi, ogni soluzione intera si trova 4 volte
Ultima modifica di Quelo il mer set 21, 2022 9:14 am, modificato 1 volta in totale.
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Quelo
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Quelo »

Non mi ero accorto che il titolo chiedeva tutte le soluzioni intere.

Ma se 1, 49 e -50 costituiscono complessivamente 12 soluzioni, allora anche 14, 41 e -55
Infatti se sostituisco x con z-y dove z=x+y ottengo
$(z-y)^2+(z-y)y+y^2=z^2-zy+y^2$
quindi [y, -z] è una soluzione
Le restanti 6 soluzioni sono
[14, -55], [-55, 14], [-14, 55], [55, -14]
[41, -55], [-55, 41], [-41, 55], [55, -41]
Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere
[Sergio] / $17$

Gianfranco
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Bravo Sergio!

Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.
diofantea_1.PNG
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
lun ago 08, 2022 2:20 pm
Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere
Infatti.

Gianfranco ha scritto:
gio ago 11, 2022 1:30 pm
Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.
Bello :D
Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha :mrgreen:



A me è capitato di ragionare così.
Con carta e penna e una semplice calcolatrice, osservo che:
(2·x+y)² = 9804-3·y².
Perciò il secondo membro è un quadrato e, in valore assoluto, 𝘺 non è maggiore di 55 (dico questo perché si vede subito che non può essere un multiplo di 3, né di 4, 19 e 43).
Quindi, trovo facilmente:
y = ±1, ±14, ±41, ±49, ±50 e ±55,
e, in corrispondenza di questi valori, per x ottengo:
x = ±49, ±41, ±14, ±1, 1 e 14.
Totalizzo, così, 12 coppie di soluzioni.
Poiché nell'equazione data le variabili si possono scambiare, individuo immediatamente tutte le soluzioni richieste, che sono 24.
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Gianfranco
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo Bruno!
Bruno ha scritto:
ven ago 12, 2022 1:02 pm
Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha :mrgreen:
E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo. :D

Ormai ho un'età in cui, almeno in matematica, posso fare ciò che mi piace, senza il problema di mantenere la "reputazione".
Anzi, mi è persino venuto in mente di scrivere un articolo intitolato: "Se Diofanto avesse avuto un VIC-20...". Ma non lo scriverò. O forse sì? :D
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco, non ti dico quanto vorrei leggere quel tuo articolo (perdonami la paralipsi), scrivilo senza indugio :D


Gianfranco ha scritto:
ven ago 12, 2022 2:02 pm
E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo. :D

Sono d'accordo con te.
Un grande collaboratore di OEIS, Peter Luschny, mi ha consigliato un giorno Julia e per un po' l'ho usato: mi sono divertito. Lo conosci, Gianfranco?
(Bruno)

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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Sì, conosco Julia, lo seguo e sono iscritto alla newsletter degli users da anni.
Però l'ho usato solo per fare delle prove.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Pasquale »

Proposta di procedimento

Risolvendo le seguenti due equazioni di secondo grado simmetriche, nelle quali una delle due variabili
entra a far parte del termine noto, si ottengono tutti i risultati voluti, testando tutti i valori possibili
attribuibili alle variabili y o x sotto radice, tali che i vari radicandi rappresentino un numero quadrato positivo,
restando validi inoltre solo i risultati interi delle formule risolutive classiche delle due equazioni tipo ax^2+bx+c=0 :

x^2 + yx + (y^2 - 2451) = 0

y^2 + xy + (x^2 - 2451) = 0

Dalle due equazioni risultano:

x = -1; y = 50
x = 1; y = 49
x = -14; y = 55
x = 14; y = 41
x = 41; y = 14
x = 49; y = 1

x = 1; y= -50
x = 14; y = -55
x = 41; y = -55
x = 49; y =-50
x = 50; y = -49
x = 55; y = -41
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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