Tutte le soluzioni intere.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Con carta e penna e, eventualmente, una semplice calcolatrice:

x² + x·y + y² = 2451.


-----------------
Quiz proposto da Domenico Annunziata.
-----------------
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 894
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Quelo »

Poiché la somma termina con 1, y potrebbe essere 1
Se poniamo y=1 risulta:
$x^2+x=2450$
$(x+1)x=50\cdot49$
$x=49$
[49, 1] è la soluzione più semplice, ma ce ne sono altre 23.
Ovviamente [1, 49], [-49, -1], [-1, -49], ma anche [-50,1], [1, -50], [50, -1] e [-1, 50]

Il problema può essere visto anche in altro modo:
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$
Il più piccolo quadrato maggiore di 2451 è 2500, quindi:
$x+y=50;\quad xy=49$, oppure $\;(x+y)^2=1;\quad xy=-2450$
e troviamo le soluzioni di prima e [50, -49], [-49, 50], [-50, 49], [49, -50]
Andando avanti arriviamo a $55^2=3025$
$x+y=55;\quad xy=574=2\cdot7\cdot41$
[14, 41], [41, 14], [-14, -41], [-41, -14] sono altre soluzioni

Si tratta dell'equazione di un ellisse con centro nell'origine degli assi, ogni soluzione intera si trova 4 volte
Ultima modifica di Quelo il mer set 21, 2022 9:14 am, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 894
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Quelo »

Non mi ero accorto che il titolo chiedeva tutte le soluzioni intere.

Ma se 1, 49 e -50 costituiscono complessivamente 12 soluzioni, allora anche 14, 41 e -55
Infatti se sostituisco x con z-y dove z=x+y ottengo
$(z-y)^2+(z-y)y+y^2=z^2-zy+y^2$
quindi [y, -z] è una soluzione
Le restanti 6 soluzioni sono
[14, -55], [-55, 14], [-14, 55], [55, -14]
[41, -55], [-55, 41], [-41, 55], [55, -41]
Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere
[Sergio] / $17$

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Bravo Sergio!

Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.
diofantea_1.PNG
diofantea_1.PNG (27.12 KiB) Visto 4658 volte
vic20.jpg
vic20.jpg (68.8 KiB) Visto 4658 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
lun ago 08, 2022 2:20 pm
Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere
Infatti.

Gianfranco ha scritto:
gio ago 11, 2022 1:30 pm
Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.
Bello :D
Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha :mrgreen:



A me è capitato di ragionare così.
Con carta e penna e una semplice calcolatrice, osservo che:
(2·x+y)² = 9804-3·y².
Perciò il secondo membro è un quadrato e, in valore assoluto, 𝘺 non è maggiore di 55 (dico questo perché si vede subito che non può essere un multiplo di 3, né di 4, 19 e 43).
Quindi, trovo facilmente:
y = ±1, ±14, ±41, ±49, ±50 e ±55,
e, in corrispondenza di questi valori, per x ottengo:
x = ±49, ±41, ±14, ±1, 1 e 14.
Totalizzo, così, 12 coppie di soluzioni.
Poiché nell'equazione data le variabili si possono scambiare, individuo immediatamente tutte le soluzioni richieste, che sono 24.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo Bruno!
Bruno ha scritto:
ven ago 12, 2022 1:02 pm
Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha :mrgreen:
E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo. :D

Ormai ho un'età in cui, almeno in matematica, posso fare ciò che mi piace, senza il problema di mantenere la "reputazione".
Anzi, mi è persino venuto in mente di scrivere un articolo intitolato: "Se Diofanto avesse avuto un VIC-20...". Ma non lo scriverò. O forse sì? :D
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco, non ti dico quanto vorrei leggere quel tuo articolo (perdonami la paralipsi), scrivilo senza indugio :D


Gianfranco ha scritto:
ven ago 12, 2022 2:02 pm
E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo. :D

Sono d'accordo con te.
Un grande collaboratore di OEIS, Peter Luschny, mi ha consigliato un giorno Julia e per un po' l'ho usato: mi sono divertito. Lo conosci, Gianfranco?
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Gianfranco »

Sì, conosco Julia, lo seguo e sono iscritto alla newsletter degli users da anni.
Però l'ho usato solo per fare delle prove.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Tutte le soluzioni intere.

Messaggio da Pasquale »

Proposta di procedimento

Risolvendo le seguenti due equazioni di secondo grado simmetriche, nelle quali una delle due variabili
entra a far parte del termine noto, si ottengono tutti i risultati voluti, testando tutti i valori possibili
attribuibili alle variabili y o x sotto radice, tali che i vari radicandi rappresentino un numero quadrato positivo,
restando validi inoltre solo i risultati interi delle formule risolutive classiche delle due equazioni tipo ax^2+bx+c=0 :

x^2 + yx + (y^2 - 2451) = 0

y^2 + xy + (x^2 - 2451) = 0

Dalle due equazioni risultano:

x = -1; y = 50
x = 1; y = 49
x = -14; y = 55
x = 14; y = 41
x = 41; y = 14
x = 49; y = 1

x = 1; y= -50
x = 14; y = -55
x = 41; y = -55
x = 49; y =-50
x = 50; y = -49
x = 55; y = -41
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi