Una copertura casuale

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panurgo
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Una copertura casuale

Messaggio da panurgo »

Miei cari e ottimi, ho cercato nel forum per vedere se questo c'era già e non l'ho trovato. La Probabilità ci piace, quindi lo posto (se c'è già e voi lo trovate perdonatemi...)

Scelti a caso tre punti $\text{P}$, $\text{Q}$ e $\text{R}$, sul perimetro del quadrato $\text{ABCD}$ qual è la probabilità che il triangolo $\text{PQR}$ copra il centro $\text{O}$ del quadrato?

G185 (Diophante.fr)

Generalizziamo con un $n$-agono regolare?
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franco
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Re: Una copertura casuale

Messaggio da franco »

Provo così al volo senza la possibilità di postare formule o disegni e, per iniziare, immagino di partire dal caso generale di un $n$-agono con $n$ infinito: una circonferenza :)

Detto $x$ l'angolo al centro ($<π$) fra i primi 2 punti, la probabilità che il terzo formi un triangolo che copre il centro è $P(x)=(2π-x)/2π$.

Per calcolare la probabilità complessiva integro per $x$ da $0$ a $π$ e poi divido il risultato per $π$.

Il risultato, se non ho sbagliato ragionamento/calcoli, è $P=3/4$

------------ EDIT ------------------

Ho scritto un sacco di fesserie ... riprovo:

Detto $x$ l'angolo al centro ($<π$) fra i primi 2 punti, la probabilità che il terzo formi un triangolo che copre il centro è $P(x)=x/2π$.
Infatti, la condizione per cui il triangolo copra il centro è che il terzo punto si trovi nell'arco di corconferenza simmetrico (rispetto al centro) a quello delimitato dai primi due punti.

Per calcolare la probabilità complessiva integro per $x$ da $0$ a $π$ e poi divido il risultato per $π$.

Il risultato, se non ho sbagliato di nuovo ragionamento/calcoli, è $P=1/4$
Franco

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Re: Una copertura casuale

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mar ago 02, 2022 3:06 pm
Il risultato, se non ho sbagliato di nuovo ragionamento/calcoli, è $P=1/4$
Così torna anche in una mia simulazione.

A questo punto stavo riflettendo su una cosa:
probab_centro.jpg
probab_centro.jpg (22.79 KiB) Visto 608 volte
a) per ogni terna "buona" sulla circonferenza, ne esiste una "buona" sul quadrato e viceversa: basta proiettare i vertici del triangolo usando raggi della circonferenza come mostrato nelle figure.
b) allo stesso modo, per ogni terna "non buona" sulla circonferenza, ne esiste una "non buona" sul quadrato e viceversa.

Se si potesse dimostrare rigorosamente questa corrispondenza biunivoca, allora la probabilità sarebbe la stessa per la circonferenza e il quadrato, cioè 1/4.
E forse si potrebbe estendere agli altri poligoni regolari inscritti.

E' solo un'idea, non sono sicuro.
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Re: Una copertura casuale

Messaggio da franco »

Gianfranco ha scritto:
mer ago 03, 2022 9:16 am
A questo punto stavo riflettendo su una cosa:

a) per ogni terna "buona" sulla circonferenza, ne esiste una "buona" sul quadrato e viceversa: basta proiettare i vertici del triangolo usando raggi della circonferenza come mostrato nelle figure.
b) allo stesso modo, per ogni terna "non buona" sulla circonferenza, ne esiste una "non buona" sul quadrato e viceversa.

Se si potesse dimostrare rigorosamente questa corrispondenza biunivoca, allora la probabilità sarebbe la stessa per la circonferenza e il quadrato, cioè 1/4.
E forse si potrebbe estendere agli altri poligoni regolari inscritti.

E' solo un'idea, non sono sicuro.
Non so ... credo molto dipenda dalla "casualità" con cui scegliamo i punti.
Nel caso della circonferenza pensare a una distribuzione uniforme di punti casuali sulla lunghezza della circonferenza è equivalente a pensarli distribuiti uniformemente sull'angolo al centro.
In un quadrato la cosa cambia; se li distribuisco uniformemente sugli angoli nei lati risulteranno un po' più affollati al centro rispetto alle vicinanze al vertice.

Però sono poco avezzo a queste finezze, non sono nemmeno sicuro di essermi espresso chiaramente ...

Nel frattempo (e nei ritagli di tempo) sto ragionando a un'ipotesi sul quadrato ... ma mi serve tempo :)
Franco

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Re: Una copertura casuale

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mer ago 03, 2022 5:41 pm
Non so ... credo molto dipenda dalla "casualità" con cui scegliamo i punti.
Nel caso della circonferenza pensare a una distribuzione uniforme di punti casuali sulla lunghezza della circonferenza è equivalente a pensarli distribuiti uniformemente sull'angolo al centro.
In un quadrato la cosa cambia; se li distribuisco uniformemente sugli angoli nei lati risulteranno un po' più affollati al centro rispetto alle vicinanze al vertice.
Questi problemi di probabilità, per me, sono pieni di trappole: certe cose che sembrano intuitive potrebbero rivelarsi sbagliate...

Comunque, visto che il problema dice che i punti sono scelti a caso sul PERIMETRO, ho pensato di prenderli a caso su un segmento lungo come il perimetro e poi di piegarlo ottenendo una circonferenza. Ma non sono sicuro se si può passare dalla circonferenza al quadrato e ai poligoni regolari...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Una copertura casuale

Messaggio da franco »

franco ha scritto:
mer ago 03, 2022 5:41 pm
Nel frattempo (e nei ritagli di tempo) sto ragionando a un'ipotesi sul quadrato ... ma mi serve tempo :)
Mah... diciamo subito SALVO ERRORI.

Intanto partiamo col quadrato di lato unitario.
I tre punti sul perimetro possono risultare:
a. tutti sullo stesso lato
b. su due lati adiacenti
c. su due lati opposti
d. su tre lati distinti

Le quattro opzioni hanno le probabilità indicate in figura:
Q1.png
Q1.png (20.08 KiB) Visto 571 volte
Risulta abbastanza evidente che con le configurazioni a. e b. la probabilità di formare un triangolo che copra il centro è nulla!

Per le altre due configurazioni ho calcolato le probabilità in questo modo:
Q2.png
Q2.png (20.26 KiB) Visto 571 volte
e
Q3.png
Q3.png (18.3 KiB) Visto 571 volte
A questo punto calcolo la probabilità complessiva:
Q4.png
Q4.png (6.46 KiB) Visto 571 volte
Sorpresa! è pari a 1/4, come nel caso del cerchio ...
Franco

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panurgo
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Re: Una copertura casuale

Messaggio da panurgo »

Consideriamo il cerchio:ovunque si prenda il primo punto, la retta passante per tale punto e per il centro del cerchio è un asse di simmetria
G185.02.1.480x480.png
G185.02.1.480x480.png (21.83 KiB) Visto 569 volte
Il secondo punto può quindi essere preso indifferentemente in uno dei due semicerchi: il punto medio del semicerchio è il punto che viene preso in media, nel senso che ad ogni punto preso a $1/2-x$ corrisponde il punto a $1/2+x$.
G185.02.2.480x480.png
G185.02.2.480x480.png (25.8 KiB) Visto 569 volte
Perché il triangolo formato dal terzo punto contenga il centro, tale punto deve cadere nell'arco tratteggiato: un quarto di cerchio per cui $p=1/4$.
Questo ragionamento può essere esteso facilmente al quadrato
G185.02.3.480x480.png
G185.02.3.480x480.png (27.88 KiB) Visto 569 volte
e a tutti i poligoni regolari dotati della simmetria $s_4$: quelli con un numero di lati multiplo di quattro
G185.02.4.480x480.png
G185.02.4.480x480.png (34.91 KiB) Visto 569 volte
Per gli altri, ci sto lavorando...
il panurgo

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Re: Una copertura casuale

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
gio ago 04, 2022 4:45 pm
[...]
Questo ragionamento può essere esteso facilmente al quadrato
[...]
Sono stato abbastanza impreciso. Un poligono di $n$ lati ha le simmetrie del Gruppo Diedrale, $D_n$: $n$ rotazioni di $\frac{2\pi}{n}$ e $n$ riflessioni. Se consideriamo un quadrato, la retta $\text{OP}$ rompe la simmetria lasciando solo due rotazioni di $\pi$.
G185.06.2.480x480.png
G185.06.2.480x480.png (15.02 KiB) Visto 531 volte
Dato che la figura è simmetrica per la rotazione di $\pi$, le due metà del quadrato sono equivalenti e il punto $\text{Q}$ cade in media a metà della spezzata che congiunge $\text{P}$ e $\text{P}^\prime$
G185.06.3.480x480.png
G185.06.3.480x480.png (19.42 KiB) Visto 531 volte
Questa figura ha quattro rotazioni di $\frac{\pi}2$ per cui le quattro spezzate $\text{PQ}$, $\text{QP}^\prime$, $\text{P}^\prime\text{Q}^\prime$ e $\text{Q}^\prime\text{P}$ sono equivalenti: questo ci obbliga ad assegnare una probabilità di $\frac14$ in base al Principio di Indifferenza.

Nel caso del cerchio le rette $\text{OP}$ e $\text{OQ}$ sono anche assi di simmetria ma ciò non è necessario per la dimostrazione: basta la rotazione di $\frac{\pi}2$

Nel caso dell'esagono (e degli altri poligoni regolari con $4k+2$ lati), la retta $\text{OP}$ lascia ancora solo due rotazioni di $\pi$
G185.04.2.480x480.png
G185.04.2.480x480.png (23.98 KiB) Visto 531 volte
ma la retta $\text{OQ}$ non è più necessariamente perpendicolare alla retta $\text{OP}$: il punto $\text{Q}$ deve essere trovato imponendo l'uguaglianza delle due spezzate $\text{PQ}$ e $\text{QP}^\prime$.
Le due rette sono perpendicolari solo quando coincidono con gli assi di simmetria dell'esagono
G185.04.3.480x480.png
G185.04.3.480x480.png (19.56 KiB) Visto 531 volte
Ciò non toglie che la figura con due rette rimanga invariata per una rotazione di $\pi$: scopriamo che le rotazioni di $\frac{\pi}2$ sono eleganti ma non necessarie, basta la rotazione di $\pi$ che rende equivalenti tra loro le spezzate $\text{PQ}$ e $\text{P}^\prime\text{Q}^\prime$ e le spezzate $\text{QP}^\prime$ e $\text{Q}^\prime\text{P}$ rispettivamente. Quindi assegneremo anche in questo caso, in base al Principio di Indifferenza, una probabilità di $\frac14$.

Diverso è il caso dei poligoni con un numero dispari di lati
G185.07.1.480x480.png
G185.07.1.480x480.png (18.94 KiB) Visto 531 volte

Evidentemente la retta $\text{PQ}$ rompe tutte le simmetrie tranne l'identità (che è indistruttibile, credo :wink:): in questo caso bisogna procedere analiticamente come ha fatto Franco.
il panurgo

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