[A27] 5 circonferenze per 25 punti

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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[A27] 5 circonferenze per 25 punti

Messaggio da Quelo »

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Bruno
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Re: [A27] 5 circonferenze per 25 punti

Messaggio da Bruno »

Bello 😊

Quindi sono ammesse circonferenze non congruenti ed eventualmente con punti in comune?
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
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................................................................
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Gianfranco
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Re: [A27] 5 circonferenze per 25 punti

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
sab lug 23, 2022 2:50 pm
Bello 😊

Quindi sono ammesse circonferenze non congruenti ed eventualmente con punti in comune?
Sì, da come è formulato il quesito non si capisce bene, appena posso lo correggerò nella home.

Una estensione:
Qual è il numero minimo di circonferenze necessarie per intercettare tutti i punti di una griglia n x n?
C'è la sequenza su OEIS? Oppure non merita una sequenza?
Vedo che Sergio ha già iniziato il lavoro!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: [A27] 5 circonferenze per 25 punti

Messaggio da Quelo »

Per rispondere alla domanda di Gianfranco cominciamo con qualche riflessione.
il numero di punti di una griglia n x n aumenta con il quadrato, mentre il numero di punti che una circonferenza può intercettare è molto limitato, anche per raggi molto grandi.
Vediamo infatti che per tre punti passa sempre una circonferenza e che per 4 punti passa una circonferenza se questi sono disposti, ad esempio, ai vertici di un rettangolo, come accade su una griglia.
Per arrivare a 8 punti dobbiamo trovare la circonferenza il cui raggio al quadrato sia esprimibile come somma di due quadrati, come $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$ o $\sqrt{13}$
Andando oltre abbiamo 12 punti a $\sqrt{50}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{5^2+5^2}$ e 16 punti a $\sqrt{65}=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{2^2+7^2}$
Più avanti c'è $325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2$ ma qui il raggio è maggiore di 18
Alcune circonferenze si possono sfruttare ponendo il centro tra due punti della griglia, dimezzando di fatto il raggio, ma questo complica ulteriormente le cose
[Sergio] / $17$

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