Giochi con le carte 1

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1356
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Giochi con le carte 1

Messaggio da franco »

Alessandro dispone su un'unica fila 30 carte, 15 col dorso rosso e 15 col dorso blu.
Dimostrare che c'è almeno una sequenza di 10 carte adiacenti 5 delle quali hanno il dorso blu e 5 il dorso rosso.

www.diophante.fr
E5906
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2843
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da Pasquale »

Non è chiaro: comunque siano disposte le carte nella fila?
Se sono disposte in modo alternato 1 rossa e 1 blu, trattasi di un caso in cui non è possibile l'adiacenza descritta e non sarebbe l'unico caso.
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1356
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da franco »

Ciao Pasquale,
provo a spiegarlo meglio:
date le 30 carte allineate, con 15 dorsi rossi e 15 blu disposti in una maniera qualsiasi, dimostrare che è sempre possibile trovare una sequenza di 10 carte che complessivamente presentano 5 dorsi rossi e 5 blu.
l'adiacenza è richiesta per le 10 carte, non per i dorsi ...

spero sia più chiaro.

questo è il testo originale in francese:
Zig aligne sur une même rangée 30 cartes dont 15 ont le dos rouge et 15 ont le dos bleu.
Prouver qu’il existe toujours une suite de 10 cartes adjacentes dont 5 ont le dos rouge et 5 ont le dos bleu.
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2843
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da Pasquale »

A titolo sperimentale, ho buttato giù velocemente un programmino in Decimal che ad ogni invio conferma quanto affermato nel testo.
Necessiterebbe tuttavia una dimostrazionee con procedimento matematico, finora non individuato.

Le 30 carte con 15 dorsi rossi e 15 blu vengono mischiate e poi distese in fila sul tavolo.
La routine quindi controlla se fra le 30 carte è possibile individuarne 10 disposte di seguito,
fra le quali 5 abbiano il dorso rosso e 5 blu.

Codice: Seleziona tutto

DIM c$(30)
randomize

FOR m=1 TO 15
10 LET n=1+ INT(RND*30)
IF c$(n)="" THEN
LET c$(n)="ROSSO"
ELSE
goto 10
END IF
NEXT m

FOR m=1 TO 30
IF c$(m)="" THEN LET c$(m)="BLU" 
next M
   
FOR m=1 TO 9
PRINT "0";STR$(m);") ";c$(m)
NEXT  M
 
FOR m=10 TO 30
PRINT STR$(m);") ";c$(m)
next M
PRINT 

FOR m=0 TO 20
LET controsso=0
LET contblu=0
FOR n=1 TO 10    
IF c$(m+n)="ROSSO" THEN 
LET controsso=controsso+1
ELSE
LET contblu=contblu+1
END IF
NEXT N

IF controsso=5 THEN
PRINT "Trovate 5 ROSSE e 5 BLU fra le carte dalla posizione";m+1;"alla";m+10
GOTO 50
END IF
NEXT M
50
END
Ultima modifica di Pasquale il gio set 22, 2022 6:03 pm, modificato 3 volte in totale.
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1457
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da panurgo »

Una qualsiasi permutazione di

$\text{BBBBBBBBBBBBBBB}$$\text{RRRRRRRRRRRRRRR}$

ad esempio

$\text{RRR}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{BBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$

può essere considerata l’inizio, i primi trenta caratteri, di una sequenza infinita di $\text{B}$ e $\text{R}$

$\text{RRR}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{BBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\ldots$

Se consideriamo una sottosequenza di $2k$ caratteri questa conterrà $b$ esemplari di $\text{B}$ e $r\left(=2k-b\right)$ esemplari di $\text{R}$: per provare la tesi vediamo cosa serve per costruire una sequenza tale per cui tutte le sottosequenze di lunghezza $2k$ abbiano $r\neq b$.

Per prima cosa, in ogni sequenza di lunghezza $2k$, o $b>r$ o $b=r$ oppure $b<r$.

Se scorriamo la sequenza di esempio con una larghezza di banda pari a $10$ ($k=5$)

$
\phantom{1}1 \quad \phantom{\text{R}}$$\text{RRR}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\phantom{\text{R}}\text{RRRBRBRBRBBBRRRBRBRB}\quad $$6\,\text{B}$$\quad$$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}2 \quad \text{R}\phantom{\text{R}}$$\text{RR}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{R}$$\phantom{\text{R}}\text{RRBRBRBRBBBRRRBRBRB}\quad
$$6\,\text{B}$$ \quad$$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}3 \quad \text{RR}\phantom{\text{R}}$$\text{R}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RR}$$\phantom{\text{R}}\text{RBRBRBRBBBRRRBRBRB}\quad $$6\,\text{B}$$ \quad$$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}4 \quad \text{RRR}\phantom{\text{R}}$$\text{BB}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\phantom{\text{R}}\text{BRBRBRBBBRRRBRBRB}\quad $$6\,\text{B}$$\quad $$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}5\quad \text{RRRB}\phantom{\text{R}}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\phantom{\text{R}}\text{RBRBRBBBRRRBRBRB}\quad $$6\,\text{B}$$\quad $$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}6\quad \text{RRRBB}\phantom{\text{R}}$$\text{R}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\phantom{\text{R}}\text{BRBRBBBRRRBRBRB}\quad $$5\,\text{B}$$\quad $$5\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}7\quad \text{RRRBBR}\phantom{\text{R}}$$\text{BBBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\phantom{\text{R}}\text{RBRBBBRRRBRBRB}\quad $$6\,\text{B}$$\quad $$4\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}8\quad \text{RRRBBRB}\phantom{\text{R}}$$\text{BBB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\phantom{\text{R}}\text{BRBBBRRRBRBRB}\quad $$5\,\text{B}$$\quad $$5\,\text{R}$$
$
$
\phantom{1}9\quad \text{RRRBBRBB}\phantom{\text{R}}$$\text{BB}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\phantom{\text{R}}\text{RBBBRRRBRBRB}\quad $$5\,\text{B}$$\quad $$5\,\text{R}$$
$
$
10 \quad \text{RRRBBRBBB}\phantom{\text{R}}$$\text{B}$$\text{RRR}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\text{B}$$\text{R}$$\phantom{\text{R}}\text{BBBRRRBRBRB}\quad $$4\,\text{B}$$\quad $$6\,\text{R}$$
$

osserviamo che, cominciando dalla posizione $1$, è $b>r$ mentre, cominciando dalla posizione $10$, è $b<r$: siccome il blocco di viene modificato di un carattere alla volta deve esserci almeno una posizione nella quale $b=r$ ($6$, $8$ e $9$).

Di conseguenza, per una sequenza che evita le sottosequenze $2k$ con $b=r$ deve sempre essere o $b>r$ o $b<r$.

Abbiamo finito: se in tutte le sottosequenze $2k$ è $b>r$ allora per ogni sequenza finita, per esempio di trenta elementi, deve essere $b^\prime>r^\prime\left(=2n-b^\prime\right)$ e viceversa.

Dato che, nel nostro caso, $b^\prime=r^\prime$ se all’inizio $b>r$ ad un certo punto scarseggeranno le $\text{B}$ e saremo costretti ad avere $b<r$ con almeno una sottosequenza con $b=r$; viceversa, se all’inizio $b<r$ saranno le $\text{R}$ a scarseggiare e il $b=r$ dovrà essere attraversato almeno una volta per andare al $b>r$.

:wink:
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2843
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da Pasquale »

Bene, come sempre il Ns. Grande Pan ha messo in moto la logica e tagliato il traguardo in men che non si dica, completando quanto auspicato da Franco nel gioco 2. :D
Nel frattempo, mi è tornata un po' di memoria ed ho sistemato la lettura della routine di cui sopra, che ad ogni invio dichiara dove inizia la sequenza con i 5R e 5B nell'ambito di quella casuale da 30 carte, contenenti 15R e 15B.
Buon tutto a TUTTI :wink:
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1356
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da franco »

panurgo ha scritto:
gio set 22, 2022 1:11 pm
Una qualsiasi permutazione ...
...
:wink:
Chapeau!
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1356
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Giochi con le carte 1

Messaggio da franco »

Dopo che Guido ha risolto il quesito sono andato per curiosità a guardare le risposte pubblicate su www.diophante.fr
Una mi è sembrata carina e provo a tradurla alla meglio.

Assegnamo alle carte con dorso rosso il valore +1 e alle carte con dorso blu il valore -1.
Definiamo "punteggio" di una sequenza di 10 carte adiacenti la somma dei valori delle singole carte.
Il punteggio può assumere un qualsiasi valore pari compreso fra -10 e +10.
Ciò premesso, ipotizziamo per assurdo che non esistano sequenze con punteggio uguale a 0 e osserviamo le tre sequenze 1-10, 11-20 e 21-30.
Siccome abbiamo complessivamente 15 carte rosse e 15 blu, ci sarà necessariamente almeno una sequenza (S+) con punteggio strettamente positivo e almeno una sequenza (S-) con punteggio strettamente negativo.
A questo punto osserviamo le sequenze intermedie fra S+ e S-:
Muovendoci di un passo (in un verso o nell'altro) il punteggio della sequenza può aumentare di 2 (tolgo una blu e aggiungo una rossa) oppure diminuire di 2 (tolgo una rossa e aggiungo una blu) oppure restare invariato (tolgo e aggiungo una carta dello stesso colore).
In ogni caso, per passare da un punteggio positivo a uno negativo (o viceversa) devo necessariamente passare dallo 0, in contraddizione con l'ipotesi di partenza.
(soluzione presentata da Jean-Louis Legrand)


ciao

Franco
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Rispondi