Perimetri.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Perimetri.

Messaggio da Bruno »

Postato in un social dall'ingegner Carmelo Giugno:

Perimetri.jpg
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Quelo
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Re: Perimetri.

Messaggio da Quelo »

Se dici la risposta giusta, sei un grande!
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panurgo
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Re: Perimetri.

Messaggio da panurgo »

Tutti gli angoli della figura sono retti quindi i lati paralleli sono congruenti: questo ci consente di ricavare i lati verticali di ciascun rettangolo (l’esagono concavo $\text{DGHILN}$ ha lo stesso perimetro del rettangolo $\text{DGI}^\prime\text{N}$) sottraendo il corrisponente lato orizzontale dal corrispondente semiperimetro.
Perimetri.02.1.640x640.png
Perimetri.02.1.640x640.png (29.46 KiB) Visto 142 volte
Possiamo dunque scrivere cinque equazioni

$\left\{\begin{array}{lC}
u+v+z=l \\
x+y+z=l \\
21-u+10-x=l \\
12-v+17-y=l \\
18-z=l
\end{array}\right.$

Ovvero, mettendo le incognite in ordine alfabetico,

$\left\{\begin{array}{lC}
l-u-v-z=0 \\
l-x-y-z=0 \\
l+u+x=31 \\
l+v+y=29 \\
l+z=18
\end{array}\right.$

Avendo sei incognite e solo cinque equazioni il sistema è indeterminato quindi dobbiamo scegliere una variabile da “portare a destra”; la $u$ e la $v$ compaiono solo due volte: scegliamone una, per esempio la $v$

$\left\{\begin{array}{lC}
l-u-z=v \\
l-x-y-z=0 \\
l+u+x=31 \\
l+y=29-v \\
l+z=18
\end{array}\right.$

Scriviamo il sistema forma matriciale

$\left(\begin{array}{cC}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cC}
l \\ u \\ x \\ y \\ z
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cC}
v \\ 0 \\ 31 \\ 29-v \\ 18
\end{array}\right)$

La soluzione del sistema da data da

$\left(\begin{array}{cC}
l \\ u \\ x \\ y \\ z
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cC}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{cC}
v \\ 0 \\ 31 \\ 29-v \\ 18
\end{array}\right)$

se esiste l’inversa della matrice: lo chiediamo a WolframAlpha che ci risponde

$\left(\begin{array}{cC}
1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)^{-1}=
\frac16\left(\begin{array}{cC}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
-4 & 2 & 2 & 2 & -2 \\
3 & -3 & 3 & -3 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 5 & -2 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & 4
\end{array}\right)$

ovvero

$\left(\begin{array}{cC}
l \\ u \\ x \\ y \\ z
\end{array}\right)=
\frac16\left(\begin{array}{cC}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
-4 & 2 & 2 & 2 & -2 \\
3 & -3 & 3 & -3 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 5 & -2 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & 4
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cC}
v \\ 0 \\ 31 \\ 29-v \\ 18
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cC}
16 \\ 14-v \\ 1+v \\ 13-v \\ 2
\end{array}\right)$

La risposta è dunque $l=16$.
il panurgo

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Quelo
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Re: Perimetri.

Messaggio da Quelo »

Bello, io ho ragionato in modo diverso.

Tutte le sezioni sono rettangoli o assimilabili a rettengoli, dal punto di vista del perimietro.
2 lati consecutivi di ogni sezione corrispondono al semiperimetro, questo significa che il perimetro del rettangolo ADOF è pari alla metà della somma dei perimetri in esso contenuti
Se aggiungo la sezione con perimetro 36 ottengo il perimentro di $ABCD$ più 2 volte $\overline{FO}$, quindi 6 volte il lato del quadrato $ABCD$

$\displaystyle l=\frac{\large\frac{42+24+20+34}{2}\normalsize+36}{6}$

Sedici è la risposta giusta

Noto il lato esterno calcoliamo $\overline{BF}$ che vale 2, mentre tutti gli altri lati sono indeterminati in quanto soluzioni di un sistema di 7 equazioni in 8 incognite.
Abbiamo infinite soluzioni equivalenti e due casi particolari in cui tutte le sezioni sono effettivamente rettangolari, quali sono?

perimetri2.png
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panurgo
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Re: Perimetri.

Messaggio da panurgo »

Perimetri.03.1.640x640.png
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il panurgo

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Bruno
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Re: Perimetri.

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
mar giu 14, 2022 5:03 pm
Se dici la risposta giusta, sei un grande!
Sinceramente, Sergio, non capivo questo tuo intervento: il problema ha senz'altro soluzione, anche senza essere grandi, e lo avete ottimamente dimostrato :D
(Bruno)

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Quelo
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Re: Perimetri.

Messaggio da Quelo »

Sedici la risposta giusta
Perdonate il gioco di parole mal riuscito
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Bruno
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Re: Perimetri.

Messaggio da Bruno »

Perdonami tu se mi sono appena svegliato :mrgreen:

Il tuo gioco è perfetto :D
(Bruno)

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Quelo
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Re: Perimetri.

Messaggio da Quelo »

Le soluzioni si possono trovare anche graficamente, se consideriamo che la somma di due lati consecutivi è costante.
Questo significa i punti interni si muovono su diagonali, ad esempio partendo dalla soluzione di Panurgo e muovendo il punto H si ottengono le varie configurazioni

perimetri2.gif
perimetri2.gif (222.61 KiB) Visto 72 volte
Ultima modifica di Quelo il mer giu 22, 2022 8:24 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Perimetri.

Messaggio da panurgo »

Bello! :D
il panurgo

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Re: Perimetri.

Messaggio da Bruno »

Fantastico :D
(Bruno)

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