Ottenere 1000

[Quelo]

1) Ottenere 1000 usando 8 volte una sola cifra, ricercare la soluzione o le soluzioni per tutte le altre cifre da 1 a 9 (es. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000)

2) Usando tutte le cifre da 1 a 9 una sola volta, è possibile ottenere 1000 come somma di numeri interi positivi?

[delfo52]

(99*9)+99+9+(9/9)

[franco]

$(5+5)*(5+5)*(5+5)*(5/5)$

[franco]

$(4/4)*(4!/4+4)^{(4-4/4)}$

[franco]

$[(3!*3!)/3-3/3-3/3]^3$

[franco]

$(2^2+2^2+2)^{(2+2/2)}$

[franco]

$1-1+(11-1)^{(1+1+1)}$

[franco]

$[(66-6)/6]^{[(6+6+6)/6]}$
$[(77-7)/7]^{[(7+7+7)/7]}$
$[(88-8)/8]^{[(8+8+8)/8]}$

[Quelo]

Complimenti a Franco, l'ultima soluzione funziona con tutte le cifre

[franco]

Complimenti a Franco, l'ultima soluzione funziona con tutte le cifre

Me ne sono accorto ... però ci sono arrivato solo col 6
In effetti sarebbe più carino avere 9 formulazioni diverse ... ognuna delle quali non possa essere riutilizzata semplicemente sostituendo la cifra.

Per tale motivo proporrei di considerare ancora aperta la caccia per soluzioni "uniche" con le cifre $6$, $7$ e $8$.

(e naturalmente c'è ancora il secondo quesito aperto)

[Bruno]

$\displaystyle (7+7-\frac{7}{7})\cdot 77-\frac{7}{7}$


E anche ($\small 9\geq a \geq 1$): $\displaystyle \; \frac{aaaa-aaa}{a} = 1000.$

[Quelo]

Esiste una soluzione "univoca" anche per il 6

Mi piace la soluzione generale di Bruno, molto elegante

+++ Aggiornamento +++
Aggiungiamo un grado di difficoltà, le forme uniche devono essere pulite, ad esempio non si può sommare/sottrarre 0 o moltiplicare/dividere per 1 per consumare cifre

[Quelo]

Ecco le mie soluzioni pulite (alcune sono varianti delle vostre)

$\displaystyle 111(11-1-1)+1$

$\displaystyle \left(\frac{2^{2\cdot2}}{2}+2\right)^{2+\large\frac22}$

$\displaystyle \left(\left(\frac{3+3}{3}\right)\left(3+\frac{3+3}{3}\right)\right)^3$

$\displaystyle \left(4+4+\frac{4+4}{4}\right)^{4-\large\frac44}$

$\displaystyle (5\cdot5\cdot5)\left(5+5-\frac{5+5}{5}\right)$

$\displaystyle \left(\frac{6!}{6\cdot(6+6)}\right)^{\large\frac{6\cdot6}{6+6}}$

$\displaystyle \frac{7!}{7-\frac{7+7}{7}}-7-\frac77 \quad$ qui però la soluzione di Bruno è molto più elegante

$\displaystyle \left(\frac{8\cdot8\cdot8-8}{8}\right)(8+8)-8$

$\displaystyle \left(99+\frac99\right)\left(\frac{99-9}{9}\right)$

Resta da fare il 6 senza fattoriale

[Bruno]

Resta da fare il 6 senza fattoriale

Una variante della tua idea (e questa non è generale come quella di Franco):

$\displaystyle \left (\frac{66-6}{6}\right )^{\Large \frac{6\cdot 6}{6+6}} $.

[Pasquale]

Per quanto concerne il quesito 2), molte sono le soluzioni trovate per ottenere la somma 999, ma nessuna per il 1000.
Penso dunque che non sia possibile e dunque occorrerebbe trasformare il quesito in dimostrazione sulla ragione per cui non sia possibile ottenere la somma 1000, salvo che non venga fuori una soluzione con tale somma.

In particolare, ho trovato soluzioni per il 999 sommando tre numeri da 3 cifre, oppure due da 3+ uno da 2 + uno da 1, oppure due da 3 e tre da 1, oppure uno da 3 cifre e tre da 2, o uno da 3 + due da 2 + due da 1, o uno da 3+uno da 2+quattro da 1, o uno da 3 + sei da 1 cifra.

Esempi:
978+1+2+3+4+5+6
974+1+2+3+5+6+8
971+ ...
972+...
973+...
975+....
976+...

831= 49+ 52+67
856
826
896
873

ecc.