Somma di cubi

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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Somma di cubi

Messaggio da Quelo »

Dimostrare che $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{\,3}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2$
[Sergio] / $17$

franco
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Re: Somma di cubi

Messaggio da franco »

Io l'ho pensata così:
somma di cubi.PNG
somma di cubi.PNG (25.46 KiB) Visto 564 volte
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
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Re: Somma di cubi

Messaggio da Quelo »

Ottimo Franco

Riporto anche una prova visuale

Somma di cubi.png
Somma di cubi.png (8.68 KiB) Visto 559 volte
[Sergio] / $17$

Bruno
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Re: Somma di cubi

Messaggio da Bruno »

Fantastico :D

In formule, di immediata verifica (e ben note) sono le identità:

$n = {\Large \frac{n\cdot (n+1)}{2} - \frac{n\cdot (n-1)}{2}}$
$n^2 = {\Large \frac{n\cdot (n+1)}{2} + \frac{n\cdot (n-1)}{2}}\, ,$

da cui si deduce:

$n^3 = {\Large \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} - \frac{n^2\cdot (n-1)^2}{4}}\, ,$

che ci permette di ottenere l'uguaglianza proposta in un balzo di gatto:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1^3 = {\Large \frac{1^2\cdot 2^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2^3 = {\Large \frac{2^2\cdot 3^2}{4} - \frac{2^2\cdot 1^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3^3 = {\Large \frac{3^2\cdot 4^2}{4} - \frac{3^2\cdot 2^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots$
$(n-1)^3 = {\Large \frac{(n-1)^2\cdot n^2}{4} - \frac{(n-1)^2\cdot (n-2)^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n^3 = {\Large \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} - \frac{n^2\cdot (n-1)^2}{4}}.$
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

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