Triplette convergenti

[giobimbo]

Abbiamo n punti (con n pari maggiore di 2) in posizione generale nel piano, ovvero tre di essi non sono mai collineari.
1) In ogni punto convergono 3 segmenti.
2) I segmenti non s’intersecano mai.
Sotto, un esempio con 6 punti.

Problema: disegnare una figura che rispetti tali condizioni per n=16.

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[Quelo]

Se ho capito bene dovrebbe essere così

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Rilancio con n=14

[Quelo]

Per fare il disegno simmetrico non ho prestato attenzione ai punti allineati
Ecco un'altra soluzione per n=16 che però vale per tutti i 2n, per cui propongo di escludere le soluzioni con poligoni di n lati concentrici

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[giobimbo]

Complimenti a Quelo per la sua soluzione davvero originale, ritengo una vera fortuna il suo ritorno al Forum, una miniera di spunti e di idee per tutti. Bravo.

Come scrive Maria Dedò nel suo “Forme“ (Zanichelli-Decibel 1999) la figura sopra è un diagramma di Schlegel rappresentante un poliedro convesso nel quale vale la relazione di Eulero:

V - S + F = 2 dove V=vertici/punti, S=spigoli/segmenti e F=facce.

Qui abbiamo V=16, S=24, F=10, per cui 16-24+10=2 come diceva Eulero (una faccia è data dal perimetro della figura).

Problema 2. Se V=n quante facce ha il poliedro?
Problema 3. Se V=n quanti spigoli ha il poliedro?

[giobimbo]

Una soluzione per n=14 e una per n=16

502 b2.png (45.35 KiB) Visto 5952 volte

[Gianfranco]

Bravissimo Sergio!
Grazie Giobimbo per le tue soluzioni e il riferimento al libro di Maria Dedò.

Posto anch'io il mio pensierino.

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Sono partito dal ricordo di un meraviglioso programma per Apple di tanti anni fa. Si chiamava FANTAVISION e permetteva di creare filmati d'animazione disegnando punti, segmenti, poligoni e grafi e muovendo i vertici da un fotogramma all'altro.
Il programma poi creava animazioni fluide usando l'interpolazione lineare.
Una delle funzioni era quella di aggiungere un vertice a un grafo semplicemente "tirando" un segmento come se fosse un elastico teso.

Nel nostro caso, ho pensato di duplicare il tuo grafo e aggiungere altri due punti attaccandoli a due segmenti già presenti (vedi figure allegate).

Poi bisogna spostare i punti per non averne tre allineati.

Poi, ripensandoci, mi è venuto in mente che il problema si può risolvere ance con il grafo piano di un prisma ottagonale. E qui veniamo alla soluzione di Sergio e alle tue osservazioni.

[Quelo]

Soluzione per n=16 e più in genrale n=4p

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[giobimbo]

Chi non avesse il libro della Dedò (vedi pagina 74) può cercare in rete la versione digitale di:
Lyusternik “Convex Figures and Polyhedra“
che nel capitolo 3 “Networks and Convex Polyhedra“ espone le condizioni affinché un grafo planare sia la proiezione di un poliedro convesso.
Intanto aspetto le soluzioni dei Problemi 3 e 4…