Uno sguardo al pigreco

[Pasquale]

Nell'ambito delle prime 1000 cifre decimali del pigreco, esistono delle sequenze corrispondenti a quadrati perfetti ?
In caso affermativo, quale la radice quadrata di maggior valore?

[Bruno]

... quale la radice quadrata di maggior valore?

11881 = 109² in posizione 846, dopo la virgola. Non vedo altri valori maggiori, coi miei blandi mezzi

[Quelo]

A quanto pare non ce ne sono altre, però c'è un cubo 42875 in posizione 909 e una quinta potenza 759375 in posizione 938

[Pasquale]

Bene.
Adesso, facile, facile e sempre a titolo di passatempo,
dando ancora uno sguardo alle prime 1000 cifre decimali (meglio 999), quali sono le più lunghe sequenze crescenti o decrescenti e superiori a due cifre, se esistono?
Inoiltre, eliminando gli zeri dalle suddette 999 cifre, a quanto ammonta il prodotto delle rimanenti cifre ?
Infine, se dal suddetto prodotto eliminiamo l'ultimo 2 e tutte le cifre che seguono, è possibile suddividere in fattori primi il numero formato dalle residue cifre?
In tal caso, quale sarebbe tra i fattori il maggiore primo?

[Quelo]

1. Ci sono 2 sequenze di 4 cifre, una crescente 6789 e una decrescente 5432
2. Considerando 1000 cifre uniformemente distribuite da cui togliamo gli zeri, otteniamo 100 gruppi di cifre da 1 a 9, il loro prodotto sarà $\displaystyle (9!)^{100}$ (556 cifre), dai miei calcoli risulta infatti un numero di 550 cifre
3. Se a questo numero togliamo tutte le cifre dall'ultimo 2 in poi, a me risulta un numero di 445 pari, quindi non primo, che però non saprei come fattorizzare

Mi viene da pensare che non siamo allineati
Pasquale ti risulta un numero dispari?

[Pasquale]

Il quesito n. 3 non l'ho sviluppato. Ho iniziato, ma le cifre son troppe (451) ed i tempi lunghi. Forse non avrei dovuto proporlo.

Per la ricerca dei fattori (se non ce ne sono, saremmo in presenza di un grande primo), ho avviato una routine che prova a dividere il lungo numero dispari iniziale che termina con un 7, per tutti i dispari fra 3 e l'intero della metà di quello, alla ricerca di un iniziale divisore. Ove questo fosse saltato fuori, avrei dovuto ripetere il procedimento nei confronti del quoziente risultante e così via, previ eventuali riadattamenti.

Salvo errori, non è venuto fuori alcun divisore dispari fra 3 e 1123767869, allorché per varie ragioni ho dovuto interrompere la ricerca: al massimo, l'esplorazione avrebbe dovuto procedere sino al divisore:
1128062573047227641855124779109304964667876574920904535417960687145774420842000579059023309271906295491399925076670477857780605712992974465245146697400553086192905525512147233550873858730332368114244515631893001794468593123175964149056521212266156590906357318697772095574403845241446623598304226816746878640913583072847061793360828445493380646000766954565527999741857108970961406254803624568137810915248803024644904674460550567303740467156300840147353

Per maggior chiarezza, preciso che ho lavorato su 999 decimali (depurati poi dagli zeri) e che il numero relativo al prodotto delle restanti cifre, decurtato della parte finale, è il seguente:

2256125146094455283710249558218609929335753149841809070835921374291548841684001158118046618543812590982799850153340955715561211425985948930490293394801106172385811051024294467101747717460664736228489031263786003588937186246351928298113042424532313181812714637395544191148807690482893247196608453633493757281827166145694123586721656890986761292001533909131055999483714217941922812509607249136275621830497606049289809348921101134607480934312601680294707

[Quelo]

Mi accorgo ora di aver usato 1000 cifre decimali, ma anche con 999 il prodotto (al netto del'ultimo 2 e seguenti) mi viene

200544457430618247440911071841654215940955835541494139629859677714804341483022325166048588315005563642915542235852529396938774348976528793821359412871209437545405426757715063742377574885392420998087913890114311430127749888564615848721159326625094505050019078879603928102116239154034955306365195878532778425051303657395033207708591723643267670400136347478316088842996819372615361111965088812113388607155342759936871942126320100853998305272231 (441 cifre)

per inciso ho usato le cifre di pigreco trovate qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Prime_100 ... i_Pi_greco

141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198

[Pasquale]

OK, accade che il mio pigreco differisce dal tuo sull'ultima cifra, cioè la 999esima, che nel mio caso è un 9 in luogo del tuo 8, che penso sia il valore giusto, poiché il pigreco l'ho tratto dal Decimal Basic come ultima cifra disponibile nelle sue possibilità. A questo punto, penso che Decimal mi abbia fornito un arrotondamento in base alla cifra successiva all' 8 finale, che certamente sarà maggiore di 4.
Se puoi confermarmi tale ipotesi, dovrò rifare tutti i calcoli, peraltro parziali per una questione di tempi, come precedentemente accennato.
In base al risultato avrei dovuto poi formulare un altro quesito, relativo al maggiore fattore primo, fra quelli componenti il prodotto depurato di cui sopra.
Magari, si potrebbe modificare il gioco, facendo riferimento ad una minore quantità di decimali da prendere in considerazione, perché va bene un passatempo, ma il troppo poi non diverte più.

Intanto, posso confermare l'esattezza delle due sequenze che hai indicato.

Per la fattorizzazione, contrariamente a quanto accennato, ho ritrovato una routine di anni fa adatta allo scopo, ma se il numero è troppo grande, subentra comunque il problema del tempo di attesa.
Appena possibile, dopo aver corretto la cifra 9 finale, cercherò di individuare per il quesito un numero di cifre del pigreco più manovrabile.

[Pasquale]

OK, a seguito di quanto sopra, per un gioco più fattibile, meglio ridurre le cifre decimali del pigreco da 999 a 75, relativamente al quesito del prodotto depurato della parte finale, di cui occorre individuare il maggiore tra i suoi fattori primi.

[Quelo]

Confermo che la cifra successiva è appunto un 9

Con 75 cifre il fattore primo più grande del prodotto è 710825014078078755369121

Suggerisco qui un algoritmo, che stampa ogni nuovo fattore primo insieme con il fattore rimanente.
Nel nostro caso si arena dopo 49591973, per cui ho verificato il restante con WolframAlpha, che ha un database di numeri primi.

Codice: Seleziona tutto

def primefact(x):
    f = []
    p = 2
    while x >= p:
        e = 0
        while x % p == 0:
            x = x // p
            e += 1
        if e > 0:
            f.append((p,e))
            print(f, x)
        if p == 2: p = 3
        else: p += 2
    return f

L'ho tradotto anche in Decimal Basic

Codice: Seleziona tutto

SUB PrimeFact(x)
   DIM f(100,2)
   LET p = 2
   LET i = 1
   DO WHILE x >= p
      LET e = 0
      DO WHILE MOD(x,p) = 0
         LET x = x / p
         LET e = e + 1
      LOOP
      IF e > 0 THEN
         LET f(i,1) = p
         LET f(i,2) = e
         PRINT p;"^";e; x
         LET i = i + 1
      END IF
      IF p = 2 THEN
         LET p = 3
      ELSE
         LET p = p + 2
      END IF
   LOOP
   MAT PRINT f
END SUB

[Pasquale]

Bel lavoro
Anche se lo scopo del quesito resta quello del passatempo, per mia più completa comprensione, potresti gentilmente riportare il valore del "prodotto" da cui è stato tratto il fattore 710825014078078755369121 ? In quanto tempo la routine ha completato il lavoro ? Grazie.

[Quelo]

Ciao Pasquale,
ecco le informazioni che hai chiesto

Codice: Seleziona tutto

prime 75 cifre
141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286

prime 75 cifre senza zeri
1415926535897932384626433832795288419716939937515829749445923781646286

prodotto
447337917155676862392084591018151772160000000

prodotto troncato (35 cifre)
44733791715567686239208459101815177

[(3, 3)] 1656807100576580971822535522289451 tempo: 0.0 sec.
[(3, 3), (47, 1)] 35251214905884701528139053665733 tempo: 0.017 sec.
[(3, 3), (47, 1), (49591973, 1)] 710825014078078755369121 tempo: 4.2 sec.

In pochi secondi l'algoritmo individua il terzo fattore primo ma per il quarto ci vorrebbe troppo tempo, così lo testo direttamente online.

A dir la verità il numero in questione ha solo 35 cifre si può fattorizzare direttamente con WolframAlpha
44733791715567686239208459101815177

[Pasquale]

OK, grazie.
Noto che se dal prodotto si taglia soltanto il 6 finale con gli zeri, si ottiene un primo anche maggiore.
Passo allo studio di Wolfram, che non conoscevo.