Il Passatempo Fratto

[Pasquale]

Individuare quante più frazioni possibili, utilizzando 2n numeri interi e positivi, compresi fra 2 e 1000, tutti diversi l'uno dall'altro e distribuiti con la funzione di numeratore o denominatore, talché ciascuna delle "n" frazioni risultanti non abbia alcun fattore in comune fra numeratore e denominatore.
Dalla somma delle "n" frazioni dovrà risultare un numero intero.

Colui o Colei che avrà indicato Il numero "n" più grande in base ai limiti descritti, trascorsi 2 anni senza che altri abbiano superato il record, se vorrà, potrà fregiarsi con un numero primo di proprio gradimento, salvo anticipare l'attesa, dimostrando che di più non sia possibile.

Es:

$\displaystyle \frac {9}{2}+\frac {14}{15}+\frac {17}{30} = 6\quad$

[Bruno]

Lungi assai, caro Pasquale, dalla tua carinissima istanza, ti saluto con questa somma manualmente ottenuta, ché mi piace anche se:

${\Large \frac 32+\frac 54+\frac 76+\frac 98+\frac{11}{10}+\frac{13}{12}+\frac{15}{14}+\frac{17}{16} +\frac{359}{560}} = 10\;.$



Sia tutto vostro il record

[Gianfranco]

Per iniziare, mi limito ai numeri minori o uguali di 60.
Ho scelto 60 perché ha il massimo dei fattori (comodi come denominatori).

Ho preso tutti i fattori >1 di 60:
2-3-4-5-6-10-12-15-20-30-60

Li ho usati come denominatori e ho scelto i numeratori tra i numeri restanti.
Ho fatto qualche prova, cercando di ottenere come somma un numero intero.
E' uscito questo:
$\Large\frac{7}{2}+\frac{8}{3}+\frac{9}{4}+\frac{11}{5}+\frac{13}{6}+\frac{21}{10}+\frac{19}{12}+\frac{23}{15}+\frac{27}{20}+\frac{31}{30}+\frac{37}{60}=21$

[Pasquale]

Grandi Bruno e Gianfranco con 9 ed 11 addendi !
Quando ho elucubrato questa cosetta, non sapevo dove andasse a parare.
Successivamente, una volta messo giù il regolamento, ho trovato che c'era da lavorare a mano, salvo l'uso in contemporanea di 2 o 3 piccole routine per calcoli parziali.
Dalle Vs. mirabili impostazioni, presumo che l'attuale primato di Gianfranco possa essere di gran lunga superato, considerato il campo di azione nell'ambito dei 999 numeri ammessi.
Intanto, posto di seguito una soluzione da 12 addendi meno elegante:
.
$\Large \frac{9}{2} + \frac{14}{15} + \frac{17}{30} + \frac{23}{3} + \frac{25}{26} + \frac{29}{78} + \frac{33}{7} + \frac{43}{20} + \frac{47}{91} + \frac{61}{35} + \frac{87}{28} + \frac{88}{13} = 34$

Direi inoltre di apportare una piccola modifica al "regolamento", riducendo i 2 anni ad appena 1 anno

[Quelo]

Passatempo carino

Con lo stesso metodo di Gianfranco arrivo a 29 termini
Prendo il 720, che ha molti divisori ma pochi fattori primi
Al denominatore i divisori di 720, al numeratore "1" e 28 numeri primi a partire da 7
Aggiusto gli ultimi due termini per ottenere un numero intero come somma

$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{7}{3}+\frac{11}{4}+\frac{13}{5}+\frac{17}{6}+\frac{19}{8}+\frac{23}{9}+\frac{29}{10}+\frac{31}{12}+\frac{37}{15}+\frac{41}{16}+\frac{43}{18}+\frac{47}{20}+\frac{53}{24}+\frac{59}{30}+\frac{61}{36}+\frac{67}{40}+\frac{71}{45}+\frac{73}{48}+\frac{79}{60}+\frac{83}{72}+\frac{89}{80}+\frac{97}{90}+\frac{101}{120}+\frac{103}{144}+\frac{107}{180}+\frac{109}{240}+\frac{127}{360}+\frac{389}{720}=50$

Fatto con Excel

[Bruno]

Mirabilissimi (non sono riuscito a non sbirciare qui), e mi aspettavo l'arrivo di Sergio
Non dimentichiamo che i termini delle frazioni devono essere maggiori di 1.

[Quelo]

E' vero, correggo subito:

$\displaystyle \frac{7}{2}+\frac{11}{3}+\frac{13}{4}+\frac{17}{5}+\frac{19}{6}+\frac{23}{8}+\frac{29}{9}+\frac{31}{10}+\frac{37}{12}+\frac{41}{15}+\frac{43}{16}+\frac{47}{18}+\frac{53}{20}+\frac{59}{24}+\frac{61}{30}+\frac{67}{36}+\frac{71}{40}+\frac{73}{45}+\frac{79}{48}+\frac{83}{60}+\frac{89}{72}+\frac{97}{80}+\frac{101}{90}+\frac{103}{120}+\frac{107}{144}+\frac{109}{180}+\frac{113}{240}+\frac{139}{360}+\frac{461}{720}=60$

Adesso i numeratori sono tutti numeri primi

EDIT:

Pensavo che 720 fosse il massimo ma 840 ha 32 divisori

$\displaystyle \frac{11}{2}+\frac{13}{3}+\frac{17}{4}+\frac{19}{5}+\frac{23}{6}+\frac{29}{7}+\frac{31}{8}+\frac{37}{10}+\frac{41}{12}+\frac{43}{14}+\frac{47}{15}+\frac{53}{20}+\frac{59}{21}+\frac{61}{24}+\frac{67}{28}+\frac{71}{30}+\frac{73}{35}+\frac{79}{40}+\frac{83}{42}+\frac{89}{56}+\frac{97}{60}+\frac{101}{70}+\frac{103}{84}+\frac{107}{105}+\frac{109}{120}+\frac{113}{140}+\frac{127}{168}+\frac{131}{210}+\frac{137}{280}+\frac{139}{420}+\frac{283}{840}=73$

[Gianfranco]

Tra i numeri minori di 2000, quello che ha più fattori è 1680, con 39 fattori >1
2-3-4-5-6-7-8-10-12-14-15-16-20-21-24-28-30-35-40-42-48-56-60-70-80-84-105-112-120-140-168-210-240-280-336-420-560-840-1680

Procedendo come già visto si ottiene la seguente somma di 41 frazioni = 39 + 2 aggiuntive per ottenere il numero intero.
$\displaystyle \frac{11}{2}+\frac{13}{3}+\frac{17}{4}+\frac{19}{5}+\frac{23}{6}+\frac{29}{7}+\frac{31}{8}+\frac{37}{10}+\frac{41}{12}+\frac{43}{14}+\frac{47}{15}+\frac{53}{16}+\frac{59}{20}+\frac{61}{21}+\frac{67}{24}+\frac{71}{28}+\frac{73}{30}+\frac{79}{35}+\frac{83}{40}+\frac{89}{42}+ $

$\displaystyle\frac{97}{48}+\frac{101}{56}+\frac{103}{60}+\frac{107}{70}+\frac{109}{80}+\frac{113}{84}+\frac{127}{105}+\frac{131}{112}+\frac{137}{120}+\frac{139}{140}+\frac{149}{168}+\frac{151}{210}+\frac{157}{240}+\frac{163}{280}+\frac{167}{336}+\frac{173}{420}+\frac{179}{560}+\frac{181}{840}+\frac{191}{1680}+$

$\displaystyle \frac{227}{315}+\frac{193}{1260}=86$

Lo scrivo in formato testo per eventuali verifiche:
11/2+13/3+17/4+19/5+23/6+29/7+31/8+37/10+41/12+43/14+47/15+53/16+59/20+61/21+67/24+71/28+73/30+79/35+83/40+89/42+97/48+101/56+103/60+107/70+109/80+113/84+127/105+131/112+137/120+139/140+149/168+151/210+157/240+163/280+167/336+173/420+179/560+181/840+191/1680+227/315+193/1260

Ma questo non è il massimo.
Infatti la facilità con cui si possono aggiungere 2 frazioni fa pensare che se ne possano aggiungere molte altre.
Co i numeri interi da 2 a 2000 (estremi compresi) si possono scrivere 999 frazioni, secondo le regole di Pasquale.

[Pasquale]

Siete troppo forti
Avevo sospettato che la faccenda potesse andare all'infinito e per tale ragione avevo limitato il campo di osservazione, ma ho commesso un grande errore nel concedere un tempo troppo lungo per una meritata premiazione. Avete peraltro anche sollecitato i miei ricordi su una vecchia
canzone: ".... ammazzate oh, t'è bastata 'na mezza giornata....", a suo tempo cantata in chiave maschile, quanto femminile.
Dunque, per voi tutti un ben meritato 98123456789098765432123 da appuntare al petto, sperando che non sia un falso primo.

[Gianfranco]

Grazie Pasquale, la mia assistente Maxima mi dice che è un vero primo.

primo.png (23.35 KiB) Visto 12034 volte

Però il premio mi sembra un po' prematuro. Siamo ancora molto lontani dalle potenziali 999 frazioni circa.
A titolo di informazione:
$\displaystyle \frac {2}{3}+\frac {4}{5}+\frac {6}{7} + ... +\frac {1998}{1999}=$

146921378758753486518206595551053728705089570610044083787451551421960560447336441969081620424423452225953934578473618944043056304138182694237989041332009770568310261999136165888177749937191108534775619366877029958151422261708671285214786417736356029892967408333676256505672387470329591302933088186376185402318067810040494660961172218208568040929228744575271015699127008595230112598191384043068649630550943327507376450911810810126624943890100903465600949579626422139790432859929065162819565376468148950638871029759989901352799030276722471845274307587683582774004361291251858383585282693396086241540575444880189002296028067342748060349263225370516603314251542662587325326537183937739603402217914088312074203018695765455710329894560898088147850359949865534683838129016602506523188203159121779490180197061492856735105926311544353282947664579801529683991197874571569349704 /
147575971560004214167515926110910959154039364114823574124246000461914527658542221342892735221356393498040967787373958507841987262911496051590667501531330247838135978840974443799253538292640926269840668436150204200349824875106342825692216080195797882561278687544853408492239067897668276741020722024722920647043361291050258670152054452602340630932745172382890465777119545919256355735334085680330696670323581795898987569556701349947230648600924724829339703465619153667400785835767829015255912124437120483654244048802954353182627323647253464533187610294513012889059213560214079942586690820627448621251921400116373405117084193399206770968054536747884759653724084204389207798419572074824626227112973906822764943279686533643894351344307463662830610651081788025023698731546719066865315845423963070220368816149003349877146224784348331677667520210577535211126744546685023125

= 995,56436732666...
Ho tagliato la parte decimale al numero della BESTIA.
Magari, togliendo qualche frazione si può arrivare a 995.

Oppure:
$\displaystyle \frac {3}{2}+\frac {5}{4}+\frac {7}{6} + ... +\frac {1999}{1998}=$
14296828603197876040178973422357004561632112809969536669027160875572804641552470296599942036981748552469434375418844811036056496798960593872883861145057213600598191342271482478614571336460966816044419805791002754200076501030063248227688535008652574079209751419373504885631371318245471678383525646215217380593394713210963326608489646545467869013451789734012035869101257854646366913059486791009363990016714661775446519218246438901032878997 /
14257730549330186106332768311428545841336717723771786080904003982308648175162222998952888303827743173823435634039150513025960528135242018502931742008610262145372536286400393219949725491874376687410030868905047479490597926291349964256473912465647588022137618524635417723959081582495509116098652951475659846705503593470496084927276102274068662429563493701756906971356043776150746499843991344113864058198781783374975345395901863207040000

=1002.742235430...
Magari, togliendo qualche frazione si può arrivare a 1002.

O ancora, scambiando qualche numeratore e denominatore si potrebbe ottenere un numero intero.

[Pasquale]

.
.
.
......................................
.
Chi l'avrebbe detto che quell'ideuccia buttata lì, avrebbe disvelato cotanta mirabilia.
La mia medaglietta è davvero risibile Gianfranco, e dunque sei libero di fregiarti con un PRIMO molto più consistente, a livello dei tuoi potenti mezzi.
Con questo, senza nulla togliere alle strade tracciate da Bruno e Quelo.

[panurgo]

Gente, avendo dato un'occhiata superficiale alla proposta, dopo questo

SommaPerfetta.png (2.81 KiB) Visto 12018 volte

avevo capito che il risultato della somma dovesse essere $2n$...

[Gianfranco]

Io ho capito che si devono usare 2n numeri distinti per fare n frazioni irriducibili la cui somma sia un intero (indipendente da n)
Attendiamo lumi da Pasquale.

[Bruno]

Individuare quante più frazioni possibili, utilizzando 2n numeri interi e positivi, (...) tutti diversi l'uno dall'altro e distribuiti con la funzione di numeratore o denominatore, talché ciascuna delle "n" frazioni risultanti non abbia alcun fattore in comune fra numeratore e denominatore.
Dalla somma delle "n" frazioni dovrà risultare un numero intero.

[Quelo]

Affinando la tecnica arriviamo a n = 56, ma c'è ancora margine

$\displaystyle \frac{41}{2}+\frac{43}{3}+\frac{47}{4}+\frac{53}{5}+\frac{59}{6}+\frac{61}{7}+\frac{67}{8}+\frac{71}{9}+\frac{73}{10}+\frac{79}{12}+\frac{83}{14}+\frac{89}{15}+\frac{97}{18}+\frac{101}{20}+\frac{103}{21}+\frac{107}{24}+\frac{109}{27}+\frac{113}{28}+\frac{127}{30}+\frac{131}{35}+\frac{137}{36}+\frac{139}{40}+\frac{149}{42}+\frac{151}{45}+ \\
\displaystyle \frac{157}{54}+\frac{163}{56}+\frac{167}{60}+\frac{173}{63}+\frac{179}{70}+\frac{181}{72}+\frac{191}{84}+\frac{193}{90}+\frac{197}{105}+ \frac{199}{108}+\frac{211}{120}+\frac{223}{126}+\frac{227}{135}+\frac{229}{140}+\frac{233}{168}+\frac{239}{180}+\frac{241}{189}+\frac{251}{210}+\frac{257}{216}+\frac{263}{252}+\frac{269}{270}+\frac{271}{280}+ \\
\displaystyle \frac{277} {315}+\frac{281}{360}+\frac{283}{378}+\frac{293}{420}+\frac{307}{504}+\frac{311}{540}+\frac{313}{630}+\frac{317}{756}+\frac{331}{840}+\frac{794}{945}=215$

EDIT:

Infatti anche n = 76

$\displaystyle \frac{41}{2}+\frac{43}{3}+\frac{47}{4}+\frac{53}{5}+\frac{59}{6}+\frac{61}{7}+\frac{67}{8}+\frac{71}{9}+\frac{73}{10}+\frac{79}{11}+\frac{83}{12}+\frac{89}{14}+\frac{97}{15}+\frac{101}{18}+\frac{103}{20}+\frac{107}{21}+\frac{109}{22}+\frac{113}{24}+\frac{127}{28}+\frac{131}{30}+\frac{137}{33}+\frac{139}{35}+\frac{149}{36}+\frac{151}{40}+ \\
\displaystyle \frac{157}{42}+\frac{163}{44}+\frac{167}{45}+\frac{173}{55}+\frac{179}{56}+\frac{181}{60}+\frac{191}{63}+\frac{193}{66}+\frac{197}{70}+\frac{199}{72}+\frac{211}{77}+\frac{223}{84}+\frac{227}{88}+\frac{229}{90}+\frac{233}{99}+\frac{239}{105}+\frac{241}{110}+\frac{251}{120}+\frac{257}{126}+\frac{263}{132}+\frac{269}{140}+\frac{271}{154}+ \\
\displaystyle \frac{277}{165}+\frac{281}{168}+\frac{283}{180}+\frac{293}{198}+\frac{307}{210}+\frac{311}{220}+\frac{313}{231}+\frac{317}{252}+\frac{331}{264}+\frac{383}{280}+\frac{347}{308}+\frac{349}{315}+\frac{353}{330}+\frac{359}{360}+\frac{367}{385}+\frac{373}{396}+\frac{379}{420}+\frac{823}{440}+\frac{389}{462}+\frac{397}{495}+\frac{401}{504}+\frac{409}{616}+ \\
\displaystyle \frac{419}{630}+\frac{421}{660}+\frac{431}{693}+\frac{433}{770}+\frac{439}{792}+\frac{443}{840}+\frac{449}{924}+\frac{487}{990}=267$

Raccolgo anche la sfida di Panurgo con n = 55

$\displaystyle \frac{13}{3}+\frac{17}{4}+\frac{19}{5}+\frac{23}{6}+\frac{29}{7}+\frac{31}{8}+\frac{37}{9}+\frac{41}{10}+\frac{43}{12}+\frac{47}{14}+\frac{16}{15}+\frac{59}{18}+\frac{61}{20}+\frac{22}{21}+\frac{71}{24}+\frac{73}{27}+\frac{79}{28}+\frac{83}{30}+\frac{89}{35}+\frac{97}{36}+\frac{101}{40}+\frac{103}{42}+\frac{107}{45}+\frac{109}{54}+ \\
\displaystyle \frac{113}{56}+\frac{127}{60}+\frac{131}{63}+\frac{137}{70}+\frac{139}{72}+\frac{149}{84}+\frac{151}{90}+\frac{157}{105}+\frac{163}{108}+\frac{167}{120}+\frac{173}{126}+\frac{179}{135}+\frac{181}{140}+\frac{191}{168}+\frac{193}{180}+\frac{197}{189}+\frac{199}{210}+\frac{557}{216}+\frac{223}{252}+\frac{227}{270}+\frac{229}{280}+ \\
\displaystyle \frac{233}{315}+\frac{239}{360}+\frac{241}{378}+\frac{251}{420}+\frac{257}{504}+\frac{263}{540}+\frac{269}{630}+\frac{271}{756}+\frac{277}{840}+\frac{281}{945}=110$

Codice: Seleziona tutto

41/2+43/3+47/4+53/5+59/6+61/7+67/8+71/9+73/10+79/12+83/14+89/15+97/18+101/20+103/21+107/24+109/27+113/28+127/30+131/35+137/36+139/40+149/42+151/45+157/54+163/56+167/60+173/63+179/70+181/72+191/84+193/90+197/105+199/108+211/120+223/126+227/135+229/140+233/168+239/180+241/189+251/210+257/216+263/252+269/270+271/280+277/315+281/360+283/378+293/420+307/504+311/540+313/630+317/756+331/840+794/945=215
41/2+43/3+47/4+53/5+59/6+61/7+67/8+71/9+73/10+79/11+83/12+89/14+97/15+101/18+103/20+107/21+109/22+113/24+127/28+131/30+137/33+139/35+149/36+151/40+157/42+163/44+167/45+173/55+179/56+181/60+191/63+193/66+197/70+199/72+211/77+223/84+227/88+229/90+233/99+239/105+241/110+251/120+257/126+263/132+269/140+271/154+277/165+281/168+283/180+293/198+307/210+311/220+313/231+317/252+331/264+383/280+347/308+349/315+353/330+359/360+367/385+373/396+379/420+823/440+389/462+397/495+401/504+409/616+419/630+421/660+431/693+433/770+439/792+443/840+449/924+487/990=267
13/3+17/4+19/5+23/6+29/7+31/8+37/9+41/10+43/12+47/14+16/15+59/18+61/20+22/21+71/24+73/27+79/28+83/30+89/35+97/36+101/40+103/42+107/45+109/54+113/56+127/60+131/63+137/70+139/72+149/84+151/90+157/105+163/108+167/120+173/126+179/135+181/140+191/168+193/180+197/189+199/210+557/216+223/252+227/270+229/280+233/315+239/360+241/378+251/420+257/504+263/540+269/630+271/756+277/840+281/945=110