Una frazione caruccia.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Una frazione caruccia.

Messaggio da Bruno »

Questo è un problema trovato in fb, proviene dai quaderni giovanili di Davide Pellizzari.

Si chiede di risolvere:

${\Large \frac {68^{2\cdot n}+79^n}{27^{2\cdot n}+22^n}} = 41\cdot m^2$,

dove $\; n\;$ ed $\;m\;$ sono numeri naturali.
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Pasquale »

Si, caruccia :D

$m^2 = {\Large \frac {68^{2\cdot n}+79^n}{41\cdot (27^{2\cdot n}+22^n)}} $

da cui, ponendo:

$a = {\Large \frac {68^{2\cdot n}+79^n}{41}} $, si giunge a:

$m^2 = {\Large \frac {a}{27^{2\cdot n}+22^n}} $, nella quale provo a cercare valori di "n" per i quali sia "a" intero e ne trovo infiniti valori per ogni n = 8p + 4, con p >= 0

A questo punto vado al calcolo di tutti i valori

$b = 27^{2\cdot n} + 22^{n}$, intendendosi per "n" gli stessi valori utilizzati per "a" precedentemente, in modo da isolare tutti gli
.
$m^2 = \frac{a}{b}$, in cui numeratore ed denominatore siano, ambedue interi.

Ebbene, anche questi si intuisce che siamo infiniti e si può notare (ad occhio) che al crescere di "n", aumenta la differenza fra la lunghezza del numeratore e quella del denominatore (a vantaggio del numeratore), talché si potrebbe ipotizzare che procedendo verso l'infinito, sia possibile isolare un rapporto a/b quadrato, così che anche "m" possa essere un intero. (D'altra parte, nella frazione iniziale, sono maggiori le basi delle potenze al numeratore). Giusto :?:

Riporto di seguito le 2 routine utilizzate per giungere alle suddette elucubrazioni:
.
FOR n=1 TO 275
LET a=(68^(2*n)+79^n)/41
IF a=INT(a) THEN PRINT n;a
next N
.
.
FOR p=0 TO 33
LET n=8*p+4
LET a=(68^(2*n)+79^n)/41
LET b=27^(2*n)+22^n
IF a>=b THEN
PRINT "p =";p;"- n =";n
PRINT "numerat.=";a
PRINT "denomin.=";b
print
print
END IF
next P
END

I cicli FOR/NEXT sono limitati alle possibilità del Decimal Basic utilizzato.
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Quelo
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Quelo »

Affinché la frazione $\displaystyle \frac{68^{2n}+79^n}{41(27^{2n}+22^n)}$ sia un quadrato, il numeratore deve

1) essere multiplo di 41 (da qui $n=8p+4$)
2) contenere tutti i fattori primi del denominatore e ognuno dei restanti fattori primi deve presentarsi in numero pari (ecccetto il 41)

Facendo la fattorizzazione per p=0..3 si ottiene

$68^8+79^4=41×11150323868377$
$68^{24}+79^{12}=41×97×2713×1010353×503692081×1560568297×11150323868377$
$68^{40}+79^{20}=41×3121×11150323868377×13995596108997022886383703790015690351608930510311845841$
$68^{56}+79^{28}=41×511897×8302169×11150323868377×2148095665922650948337861320090069532680578734121895309714712987685487936337$

$27^8+22^4=73×97×2161×18457$
$27^{24}+22^{12}=73×97×2161×18457×79201×1106257×910401929473$
$27^{40}+22^{20}=41×73×97×2161×18457×12408177756063025039241×12506858308883941991041$
$27^{56}+22^{28}=41×73×97×2161×18457×3697×6553×1105217×2012274677953×100487104248329×93740129901161515914938207329$

Chissà se andando avanti all'infinito si verifica la condizione 2

Magari esiste una soluzione algebrica, al momento mi sfugge

EDIT:

O forse no

Per via sperimentale abbiamo ricavato che il denominatore è multiplo di 41 per $n=4(2p+1)$
Allo stesso modo vediamo che il denominatore è multiplo di 73 e 97 sempre per $n=4(2p+1)$

Tuttavia il numeratore è multiplo di 97 solo per $n=12(2p+1)$ che restringe il campo dei valori possibili di n, ma è multiplo di 73 per $n=3(2p+1)$ che non è compatibile con la condizione 1
Quindi l'equazione non ha soluzioni per n e m naturali
[Sergio] / $17$

Bruno
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Bruno »

Proprio così, Sergio, solo attraverso 41 e 73 sono arrivato alla medesima conclusione (ma non per via sperimentale) :wink:

Prima ho determinato la forma di n che rende il numeratore divisibile per 41, poi ho visto cosa succede al denominatore con quell'esponente (un multiplo di 4) e di esso ho dimostrato la divisibilità per 73.
A questo punto, ho provato che il numeratore è divisibile per 73 solo quando n è un multiplo dispari di 3, quindi non quando lo stesso è divisibile per 41.
(Bruno)

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Quelo
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Quelo »

Bruno ha scritto:
ven mar 25, 2022 11:17 am
Prima ho determinato la forma di n che rende il numeratore divisibile per 41.
Ecco, quello non so come si fa, lo puoi esporre?
Grazie
[Sergio] / $17$

Bruno
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Bruno »

Certo, Sergio :wink: cerco di abbozzare una risposta, anche se non posso trattenermi.

Un modo è il seguente.

Innanzitutto, trovo subito che:
79 ≡ -3 (mod 41)
68² ≡ -9 (mod 41),
perciò devo risolvere una congruenza di questo tipo - sia per n pari, sia per n dispari:
3ⁿ+9ⁿ = 3ⁿ·(1+3ⁿ) ≡ 1+3ⁿ ≡ 0 (mod 41).
Qui osservo che:
3⁴ ≡ -1 (mod 41) ⁽*⁾,
quindi è sempre vera la congruenza:
3⁴⁽²ˢ⁺¹⁾ ≡ -1 (mod 41).
D'altra parte, posso pure agilmente notare, partendo da ⁽*⁾, che:
3⁸ᵗ ≡ 1 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺¹ ≡ 3 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺² ≡ 9 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺³ ≡ 27 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺⁴ ≡ -1 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺⁵ ≡ -3 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺⁶ ≡ -9 (mod 41)
3⁸ᵗ⁺⁷ ≡ -27 (mod 41)
e la quinta congruenza conferma la proprietà.

Spero che ciò che ho scritto sia utile.
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Pasquale »

Lo sapevo che Bruno avesse l'asso nella manica, perché lavorando solo col calcolatore, non si sa dove si va a parare, nè quanto vicino o lontano possa saltar fuori un risultato.
Oggi ho provato anche a dividere ogni addendo del numeratore per tutto il denominatore, a titolo di curiosità, visto che la divisione intera non era consentita per esaurimento della capacità di calcolo, nonostante l'impostazione per numeri a 1000 cifre.
In fondo, 4 risultati interi, col primo addendo del numeratore, son balzati subito fuori, avendo trasformato le 2 potenze nel formati 8d e 4d, con d = 2p+1.
I risultati erano in corrispondenza di d=5, 15, 25, 35 ...... Sarà che la soluzione vera non mostri indici di potenza con l'ultima cifra uguale a zero?

Il tutto comunque è servito a rimettere un po' in moto le rotelle arruginite, anche se su strada sbagliata e senza uscita :(

FOR d=1 TO 37 STEP 2
LET fr1 = 68^(8*d)/41*(27^(8*d)+22^(4*d))
IF fr1=INT(fr1) THEN PRINT d;fr1
next D

Pardon: vedo che nel frattempo Bruno ha già dato una risposta, ma ormai lascio qui queste 4 chiacchiere, a futura memoria. :)
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Quelo
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Re: Una frazione caruccia.

Messaggio da Quelo »

Grazie Bruno, l'aritmetica modulare mi risulta sempe un po' indigesta ma mi ci sono messo d'impegno e sono riuscito a riprodurre il ragionamento
[Sergio] / $17$

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