Un teorema aritmetico di Archimede.

[Bruno]

Tanti anni fa mi capitò di studiare alcune opere di Archimede e in una di queste, «Sull'equilibrio dei piani», trovai una proposizione assai intricata.
Presi carta e penna e ne venni capo, quindi regalai la mia dimostrazione a un caro amico

Archimede.jpg (9.78 KiB) Visto 4262 volte

[Quelo]

Possiamo sicuramente scrivere:

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k \quad$ e di conseguenza

$\displaystyle a=k^3d, \quad b=k^2d, \quad c=kd$

Andando a sostituire

$\displaystyle \frac{1}{k^3-1}=\frac{r}{\frac35 kd(k^2-1)}, \quad r=\frac{3kd(k+1)(k-1)}{5(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{d(3k^2+3k)}{5(k^2+k+1)}$

$\displaystyle \frac{2k^3+4k^2+6k+3}{5k^3+10k^2+10k+5}=\frac{s}{kd(k^2-1)}, \quad s=\frac{kd(k+1)(k-1)(2k^3+4k^2+6k+3)}{5(k+1)(k^2+k+1)}=\frac{d(2k^5+2k^4+2k^3-3k^2-3k)}{5(k^2+k+1)}$

Sommando si ottiene appunto

$\displaystyle r+s=\frac{d(2k^5+2k^4+2k^3)}{5(k^2+k+1)}=\frac25 k^3d$

L'utilità però mi sfugge

[Pasquale]

la bellezza delle soluzioni di Quelo si evidenzia anche nelle piacevoli esposizioni, che fanno sembrare tutto facile, facile.

Per quanto concerne il caso concreto e l'interrogativo sull'utilità del "teorema", penso che la faccenda vada considerata nel contesto più generale degli studi di Archimede e delle loro applicazioni.

Di seguito esempi (da approfondire):

https://it.wikipedia.org/wiki/Sull%27eq ... _dei_piani

http://progettomatematica.dm.unibo.it/A ... opera1.htm

http://www.leomajor.edu.it/PREMIO%20ARC ... piani.html

https://www.ifi.unicamp.br/~assis/The-I ... talian.pdf

[Bruno]

Molto bene, Sergio, questo è l'approccio di solito più seguito dai risolutori.
Con carta e penna è un po' laborioso.

Conoscendoti da un po', Pasquale, penso che, se non ti fossi fatto intimidire dall'aspetto della questione o se avessi avuto il tempo di trattarla, ci avresti donato il tuo contributo
Grazie infinite, comunque, per i link inseriti.

Si tratta di un teorema creato da Archimede per trattare (unicamente) la proposizione successiva, nella quale egli considera una parte di un segmento parabolico, cioè un trapezio mistilineo con la stessa base. Ecco: il baricentro di tale trapezio viene individuato proprio attraverso il lemma dimostrato da Sergio.
Per lo storico della scienza E. J. Dijksterhuis, queste due proposizioni sono fra le cose più indigeste di tutta la matematica greca
A suo tempo, tuttavia, mi sono divertito a esaminarle

[Pasquale]

Troppo buono Bruno e dunque ti ringrazio, ma il mio livello è più basso e tende a zero, per X tendente all'infinito, o certamente meno (leggi X = età + altro)
Comunque, in questo periodo tra varie faccende affaccendate, ogni tanto mi affaccio, sempre con il piacere di leggervi.