Un foglio di carta quadrato

[Quelo]

Un problemino semplice semplice.

Ho un foglio di carta quadrato, con l'ausilio di forbici e colla voglio ottenere un quadrato che ha la metà dell'area e il doppio dello spessore del quadrato originario.

1) Qual è il numero minimo di tagli ?
2) Potrei farlo anche per 3 (1/3 dell'area, triplo spessore)
3) e per 4 ? ( )

[Quelo]

[Tino]

Potrei fare così: piego lungo i due assi, poi effettuo le pieghe definite portando i quattro angoli al centro, quindi incollo i quattro lembi.



Totale tagli = 0

Potrebbe andare?

[Quelo]

Ottima soluzione.

Se volessi avere i due quadrati separati invece che soprapposti, potrei farlo con meno di 4 tagli ?

(è consentito l'uso di strumenti da disegno)

[delfo52]

proverei a schematizzare il problema:
uno dei due quadrati risultanti è fatto da un solo pezzo (la soluzione con due quadrati entrambi composti, eventualmente la guarderemo dopo);
i casi sono due: o il quadrato "intero" è tutto interno al quadrato grande (come quello di Tino) o no.
Se è tutto interno 4 tagli sono sufficenti, e necessari
Se un lato del quadratino giace su lato del quadrato i casi sono due:
o i due stremi del lato del quadratino NON coincidono con un vertice del quadrato o un vertce coincide.
Se non coincidono, tre tagli sono necessari , ma non sono sufficenti
Se un vertice coincide, allora i lati coincidenti sono due e i tagli necessari (per ora) sono due. Dalla figura ottenuta, ci troviamo con un quadratino integro e pronto, con due rettangoli utili e un quadrato più piccolino, fonte di dispiaceri, dal quale non bastano due tagli per ricavare qualcosa di utile.
A occhio e naso, direi pertanto che 4 è il numero minimo di tagli.
Sempre che il foglio di carta non sia pieghevole...
e in effetti si potrebbe sdoppiare il problema prendendo in esame il caso del foglio piegabile (vedi Tino, ma forse si può indagare anche il caso di tagli da farsi dopo pieghe e sovrapposizioni acconce...), e quello di una lastra di metallo da tagliare col laser.

[Pasquale]

separati interi, o ricostruiti con i pezzi derivanti dai tagli?

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Preciso, dopo aver visto l'intervento di Delfo: la domanda è per Quelo.

[Quelo]

Se uno dei due quadrati deve risultare intero, sono d'accordo che la soluzione "minore" sia quella di 4 tagli (sulle pieghe di Tino).
Se però consideriamo la possibilità di quadrati entrambi ricostruiti e adottiamo sovrapposizioni "acconce", penso che si possa fare con 3 tagli.

[Pasquale]

Sulla soluzione di Tino, per ottenere quadrati separati di cui uno intero, direi che basta un solo taglio, piegando il quadrato in 4 parti e tagliando i 4 angoli in un solo colpo.


OK, la risposta è insita nell'ultimo intervento di Quelo

[Br1]

Leggo tutto solo adesso.

Idea perfetta, quella di Martino.

Al volo.
Un'altra soluzione per il punto 1 di Quelo,
che permette di ottenere due quadrati
congruenti, uno dei quali sovrapponibile
all'altro, può essere questa.

In tutto, tre tagli.
Con il primo taglio, stacco il rettangolo
1-2-3. Con il secondo, mediante la
sovrapposizione di 1-2-3 alla rimanente
porzione del quadrato, stacco 3 e 4.
Con l'ultimo taglio stacco 2.

Quindi incollo.

[Quelo]

Ottimo Bruno

Ecco la soluzione che avevo elaborato io: taglio sulla diagonale sovrappongo e taglio i due triangolini, totale 3 tagli.

[Pasquale]

Quindi? Sono vietate le piegature?

[Br1]

Ciao, Pasquale

Boh... non sapevo che fossero vietate.
Infatti, nella mia soluzione (buttata giù
stamattina quasi soprappensiero!) una
piegatura in realtà è prevista, e quindi
i due quadrati si possono vedere l'uno
di fianco all'altro prima di incollarli.

Vabbe'... ora volo!

[Pasquale]

Non lo so nemmeno io, ma era uno dei quesiti avanzati in attesa di responso.

[Br1]

2) Potrei farlo anche per 3 (1/3 dell'area, triplo spessore)

Avrei questa idea.



Per comodità, considero un quadrato
di lato unitario e individuo al suo interno
il vertice di un triangolo equilatero con
la base coincidente con uno dei suoi lati.

Prolungo un lato di questo triangolo fino
a raggiungere il lato del quadrato più
vicino.
Il punto trovato divide tale lato in due
parti: $\/\frac{\sqr 3}{3}\/$ e $\/1-\frac{\sqr 3}{3}$.
Ciò si dimostra facilmente.
Fra parentesi, il quadrato con il lato pari
a $\/\frac{\sqr 3}{3}\/$, lo si vede subito, ha l'area che è
un terzo di quella del quadrato iniziale
unitario.

Disegno e prolungo anche l'altro lato del
triangolo equilatero.

In sostanza, realizzo una situazione di
questo tipo (la costruzione esterna al
quadrato, cioè la parte destra della figura,
in realtà non è affatto necessaria ed è lì
solo per chiarir meglio l'idea):



In essa è facile verificare le proporzioni e
i valori visibili.

A questo punto, posso indicare i punti in
cui tagliare il quadrato, affinché le parti
ottenute mi permettano di costruire i tre
quadrati congruenti che devo incollare.



Con un paio di tagli stacco due triangoli
inferiori e con un terzo taglio, dopo aver
opportunamente sovrapposti tali triangoli
alla porzione superiore del quadrato,
ottengo tutti i pezzi con cui posso fare
quello che il problema mi chiede.
Provare per credere

Le operazioni descritte sono molto semplici
e dirette, però non saprei dire, al momento,
se sia possibile arrivare a questo stesso
obiettivo con un minor numero di tagli.

Tuttavia, aggiungo questo fatto.
Il metodo illustrato permette di trovare una
nuova proposta per il primo quesito, sempre
con tre tagli e senza dover effettuare alcuna
piegatura (chiaramente, nulla a che vedere
con l'ottimo e più immediato risultato di
Martino):



La cosa, in effetti, sembra prestarsi a una
generalizzazione piuttosto immediata.



Be', Quelo, sarà stato forse "semplice semplice"
ciò che avevi in mente, ma in realtà per me non
è stato per niente scontato immaginar da zero
queste cose