Un foglio di carta quadrato
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Un foglio di carta quadrato
Un problemino semplice semplice.
Ho un foglio di carta quadrato, con l'ausilio di forbici e colla voglio ottenere un quadrato che ha la metà dell'area e il doppio dello spessore del quadrato originario.
1) Qual è il numero minimo di tagli ?
2) Potrei farlo anche per 3 (1/3 dell'area, triplo spessore)
3) e per 4 ? ( )
[Quelo]
Ho un foglio di carta quadrato, con l'ausilio di forbici e colla voglio ottenere un quadrato che ha la metà dell'area e il doppio dello spessore del quadrato originario.
1) Qual è il numero minimo di tagli ?
2) Potrei farlo anche per 3 (1/3 dell'area, triplo spessore)
3) e per 4 ? ( )
[Quelo]
[Sergio] / $17$
Potrei fare così: piego lungo i due assi, poi effettuo le pieghe definite portando i quattro angoli al centro, quindi incollo i quattro lembi.
Totale tagli = 0
Potrebbe andare?
Totale tagli = 0
Potrebbe andare?
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
proverei a schematizzare il problema:
uno dei due quadrati risultanti è fatto da un solo pezzo (la soluzione con due quadrati entrambi composti, eventualmente la guarderemo dopo);
i casi sono due: o il quadrato "intero" è tutto interno al quadrato grande (come quello di Tino) o no.
Se è tutto interno 4 tagli sono sufficenti, e necessari
Se un lato del quadratino giace su lato del quadrato i casi sono due:
o i due stremi del lato del quadratino NON coincidono con un vertice del quadrato o un vertce coincide.
Se non coincidono, tre tagli sono necessari , ma non sono sufficenti
Se un vertice coincide, allora i lati coincidenti sono due e i tagli necessari (per ora) sono due. Dalla figura ottenuta, ci troviamo con un quadratino integro e pronto, con due rettangoli utili e un quadrato più piccolino, fonte di dispiaceri, dal quale non bastano due tagli per ricavare qualcosa di utile.
A occhio e naso, direi pertanto che 4 è il numero minimo di tagli.
Sempre che il foglio di carta non sia pieghevole...
e in effetti si potrebbe sdoppiare il problema prendendo in esame il caso del foglio piegabile (vedi Tino, ma forse si può indagare anche il caso di tagli da farsi dopo pieghe e sovrapposizioni acconce...), e quello di una lastra di metallo da tagliare col laser.
uno dei due quadrati risultanti è fatto da un solo pezzo (la soluzione con due quadrati entrambi composti, eventualmente la guarderemo dopo);
i casi sono due: o il quadrato "intero" è tutto interno al quadrato grande (come quello di Tino) o no.
Se è tutto interno 4 tagli sono sufficenti, e necessari
Se un lato del quadratino giace su lato del quadrato i casi sono due:
o i due stremi del lato del quadratino NON coincidono con un vertice del quadrato o un vertce coincide.
Se non coincidono, tre tagli sono necessari , ma non sono sufficenti
Se un vertice coincide, allora i lati coincidenti sono due e i tagli necessari (per ora) sono due. Dalla figura ottenuta, ci troviamo con un quadratino integro e pronto, con due rettangoli utili e un quadrato più piccolino, fonte di dispiaceri, dal quale non bastano due tagli per ricavare qualcosa di utile.
A occhio e naso, direi pertanto che 4 è il numero minimo di tagli.
Sempre che il foglio di carta non sia pieghevole...
e in effetti si potrebbe sdoppiare il problema prendendo in esame il caso del foglio piegabile (vedi Tino, ma forse si può indagare anche il caso di tagli da farsi dopo pieghe e sovrapposizioni acconce...), e quello di una lastra di metallo da tagliare col laser.
Enrico
separati interi, o ricostruiti con i pezzi derivanti dai tagli?
--------------------
Preciso, dopo aver visto l'intervento di Delfo: la domanda è per Quelo.
--------------------
Preciso, dopo aver visto l'intervento di Delfo: la domanda è per Quelo.
Ultima modifica di Pasquale il dom ago 26, 2007 5:51 pm, modificato 2 volte in totale.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Sulla soluzione di Tino, per ottenere quadrati separati di cui uno intero, direi che basta un solo taglio, piegando il quadrato in 4 parti e tagliando i 4 angoli in un solo colpo.
OK, la risposta è insita nell'ultimo intervento di Quelo
OK, la risposta è insita nell'ultimo intervento di Quelo
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Leggo tutto solo adesso.
Idea perfetta, quella di Martino.
Al volo.
Un'altra soluzione per il punto 1 di Quelo,
che permette di ottenere due quadrati
congruenti, uno dei quali sovrapponibile
all'altro, può essere questa.
In tutto, tre tagli.
Con il primo taglio, stacco il rettangolo
1-2-3. Con il secondo, mediante la
sovrapposizione di 1-2-3 alla rimanente
porzione del quadrato, stacco 3 e 4.
Con l'ultimo taglio stacco 2.
Quindi incollo.
Idea perfetta, quella di Martino.
Al volo.
Un'altra soluzione per il punto 1 di Quelo,
che permette di ottenere due quadrati
congruenti, uno dei quali sovrapponibile
all'altro, può essere questa.
In tutto, tre tagli.
Con il primo taglio, stacco il rettangolo
1-2-3. Con il secondo, mediante la
sovrapposizione di 1-2-3 alla rimanente
porzione del quadrato, stacco 3 e 4.
Con l'ultimo taglio stacco 2.
Quindi incollo.
Bruno
Re: Un foglio di carta quadrato
Avrei questa idea.Quelo ha scritto:2) Potrei farlo anche per 3 (1/3 dell'area, triplo spessore)
Per comodità, considero un quadrato
di lato unitario e individuo al suo interno
il vertice di un triangolo equilatero con
la base coincidente con uno dei suoi lati.
Prolungo un lato di questo triangolo fino
a raggiungere il lato del quadrato più
vicino.
Il punto trovato divide tale lato in due
parti: $\/\frac{\sqr 3}{3}\/$ e $\/1-\frac{\sqr 3}{3}$.
Ciò si dimostra facilmente.
Fra parentesi, il quadrato con il lato pari
a $\/\frac{\sqr 3}{3}\/$, lo si vede subito, ha l'area che è
un terzo di quella del quadrato iniziale
unitario.
Disegno e prolungo anche l'altro lato del
triangolo equilatero.
In sostanza, realizzo una situazione di
questo tipo (la costruzione esterna al
quadrato, cioè la parte destra della figura,
in realtà non è affatto necessaria ed è lì
solo per chiarir meglio l'idea):
In essa è facile verificare le proporzioni e
i valori visibili.
A questo punto, posso indicare i punti in
cui tagliare il quadrato, affinché le parti
ottenute mi permettano di costruire i tre
quadrati congruenti che devo incollare.
Con un paio di tagli stacco due triangoli
inferiori e con un terzo taglio, dopo aver
opportunamente sovrapposti tali triangoli
alla porzione superiore del quadrato,
ottengo tutti i pezzi con cui posso fare
quello che il problema mi chiede.
Provare per credere
Le operazioni descritte sono molto semplici
e dirette, però non saprei dire, al momento,
se sia possibile arrivare a questo stesso
obiettivo con un minor numero di tagli.
Tuttavia, aggiungo questo fatto.
Il metodo illustrato permette di trovare una
nuova proposta per il primo quesito, sempre
con tre tagli e senza dover effettuare alcuna
piegatura (chiaramente, nulla a che vedere
con l'ottimo e più immediato risultato di
Martino):
La cosa, in effetti, sembra prestarsi a una
generalizzazione piuttosto immediata.
Be', Quelo, sarà stato forse "semplice semplice"
ciò che avevi in mente, ma in realtà per me non
è stato per niente scontato immaginar da zero
queste cose
Bruno